انتگرال گاوسی (Gaussian Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال گاوسی (Gaussian Integral) :
انتگرال گاوسی (Gaussian Integral) انتگرال تابع گاوسی
\[ e^{-x^2} \]روی کل خط حقیقی است. این انتگرال یکی از مهم ترین و پرکاربردترین انتگرال ها در ریاضیات و فیزیک است.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \]این نتیجه با روش های مختلفی قابل اثبات است، از جمله استفاده از مختصات قطبی در انتگرال دوگانه
\[ (\int e^{-x^2} dx)^2 = \int\int e^{-(x^2+y^2)} dx dy = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2} r dr d\theta = \pi \].
تعمیم های مهم:
۱.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \]برای
\[ a>0 \].
۲.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\pi} \frac{(2n)!}{n! (4a)^n} \].
۳.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2 + bx} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{b^2/(4a)} \](با تکمیل مربع).
۴. انتگرال گاوسی چندمتغیره:
\[ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{1}{2} x^T A x} d^nx = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det A}} \](برای
\[ A \]مثبت معین).
کاربردها: در نظریه احتمال (توزیع نرمال)، مکانیک آماری (انتگرال پارتیشن)، نظریه میدان کوانتومی (انتگرال های گاوسی در فضای فاینمن)، و آمار.
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 6809
گزینه ها 
نظرات 0 0 0