انتگرال چبیشف (Chebyshev Integral)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال چبیشف (Chebyshev Integral) :

انتگرال چبیشف (Chebyshev Integral) معمولا به انتگرال هایی اشاره دارد که در ارتباط با چندجمله ای های چبیشف و توابع مثلثاتی ظاهر می شوند. این انتگرال ها در تحلیل عددی و نظریه تقریب اهمیت دارند.

یک مثال معروف:

\[ \int_{-1}^1 \frac{T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

که

\[ T_n \]

چندجمله ای چبیشف نوع اول است. با تغییر متغیر

\[ x = \cos\theta \]

،

\[ T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta) \]

، و

\[ dx = -\sin\theta d\theta \]

،

\[ \sqrt{1-x^2} = \sin\theta \]

، این انتگرال به

\[ \int_0^\pi \cos(n\theta) d\theta \]

تبدیل می شود که برای

\[ n=0 \]

برابر

\[ \pi \]

و برای

\[ n>0 \]

صفر است.

\[ \int_{-1}^1 \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \pi/2 & m = n \neq 0 \\ \pi & m = n = 0 \end{cases} \]

چندجمله ای های چبیشف با وزن

\[ w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \]

روی بازه

\[ [-1,1] \]

متعامد هستند. انتگرال های مربوط به این خاصیت متعامدی، انتگرال های چبیشف نامیده می شوند.

در مسائل فیزیک، انتگرال های چبیشف در تحلیل سیگنال ها و طراحی فیلترها ظاهر می شوند.

همچنین انتگرال هایی به شکل

\[ \int \frac{x^n}{\sqrt{1-x^2}} dx \]

با تغییر

\[ x = \sin\theta \]

به انتگرال های مثلثاتی تبدیل می شوند.