انتگرال آبلی (Abelian Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال آبلی (Abelian Integral) :
انتگرال آبلی (Abelian Integral) به انتگرال هایی از توابع گویا روی یک منحنی جبری (رویه ریمان) گفته می شود. این مفهوم توسط نیلز آبل در قرن نوزدهم معرفی شد و پایه ای برای هندسه جبری و آنالیز مختلط مدرن است.
اگر
\[ C \]یک منحنی جبری (رویه ریمان فشرده) باشد و
\[ R \]یک تابع گویا روی
\[ C \]، آن گاه انتگرال آبلی
\[ \int R(x,y) dx \](که
\[ y \]تابعی ضمنی از
\[ x \]است) روی یک مسیر در
\[ C \]تعریف می شود. مقدار این انتگرال به مسیر بستگی دارد، اما تفاضل دو مقدار به یک دوره (period) از منحنی وابسته است.
انتگرال های بیضوی و هایپربیضوی حالت های خاصی از انتگرال های آبلی هستند (مربوط به منحنی های درجه ۲ و بالاتر).
انتگرال های آبلی به سه نوع تقسیم می شوند: نوع اول (که در همه جا تحلیلی هستند)، نوع دوم (با قطب های ساده)، و نوع سوم (با قطب های مرتبه بالاتر).
\[ \int \frac{dx}{y} \quad \text{(روی منحنی y^2 = P(x))} \]این انتگرال ها در نظریه توابع آبلی، توابع تتا، و در فیزیک ریاضی (مانند مدل های دقیقا حل شدنی) کاربرد دارند. قضیه معروف آبل در مورد جمع انتگرال های آبلی روی یک منحنی جبری به قضیه آبل مشهور است.
