انتگرال هایپربیضوی (Hyperelliptic Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال هایپربیضوی (Hyperelliptic Integral) :
انتگرال های هایپربیضوی (Hyperelliptic Integrals) تعمیمی از انتگرال های بیضوی هستند که در آن ها چندجمله ای زیر رادیکال درجه ۵ یا بالاتر (با ریشه های متمایز) است. به طور کلی، این انتگرال ها به شکل
\[ \int R(x, \sqrt{P(x)}) dx \]هستند که
\[ P \]یک چندجمله ای با درجه
\[ \ge 5 \]است.
در حالی که انتگرال های بیضوی با منحنی های درجه ۳ و ۴ (که با توابع بیضوی پارامتری می شوند) مرتبط هستند، انتگرال های هایپربیضوی با منحنی های جبری از جنس بالاتر (genus > 1) سروکار دارند.
یک مثال ساده:
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^5 + 1}} \]. این انتگرال را نمی توان بر حسب توابع ابتدایی یا حتی توابع بیضوی بیان کرد و نیاز به توابع ویژه تری به نام توابع تتا (theta functions) یا پریودهای روی سطوح ریمان دارد.
\[ \int_{x_0}^x \frac{dx}{\sqrt{x^5 + a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e}} \]انتگرال های هایپربیضوی در نظریه سطوح ریمان، معادلات دیفرانسیل غیرخطی (مانند معادله ساین-گوردون)، و برخی مسائل مکانیک سماوی ظاهر می شوند.
این انتگرال ها معمولا با استفاده از توابع تتای ریمان و انتگرال های آبلی مورد مطالعه قرار می گیرند. وارون آن ها توابع هایپربیضوی نامیده می شوند که تعمیمی از توابع بیضوی هستند.
محاسبات عددی انتگرال های هایپربیضوی پیچیده تر است و اغلب به روش های انتگرال گیری عددی تطبیقی نیاز دارد.
