انتگرال کامل (Complete Elliptic Integral)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال کامل (Complete Elliptic Integral) :

انتگرال های کامل (Complete Elliptic Integrals) حالت خاصی از انتگرال های بیضوی هستند که در آن ها دامنه

\[ \phi = \pi/2 \]

است. این انتگرال ها معمولا با حروف بزرگ

\[ K(k) \]

و

\[ E(k) \]

نمایش داده می شوند.

انتگرال کامل نوع اول:

\[ K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \]

.

انتگرال کامل نوع دوم:

\[ E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta} \, d\theta \]

.

انتگرال کامل نوع سوم:

\[ \Pi(n, k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{(1 - n \sin^2\theta)\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \]

.

\[ K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2}\right)^2 k^{2n} \] \[ E(k) = \frac{\pi}{2} \left[1 - \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2}\right)^2 \frac{k^{2n}}{2n-1} \right] \]

خواص مهم:

\[ K(0) = \pi/2 \]

،

\[ K(1) = \infty \]

(واگرا).

\[ E(0) = \pi/2 \]

،

\[ E(1) = 1 \]

.

رابطه لژاندر:

\[ K(k)E(\sqrt{1-k^2}) + K(\sqrt{1-k^2})E(k) - K(k)K(\sqrt{1-k^2}) = \pi/2 \]

.

انتگرال های کامل در مسائل فیزیکی بسیاری ظاهر می شوند:

۱. دوره تناوب آونگ ساده با دامنه بزرگ:

\[ T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} K(\sin(\theta_0/2)) \]

.

۲. محیط بیضی با نیم محورهای

\[ a \]

و

\[ b \]

:

\[ P = 4a E(e) \]

که

\[ e = \sqrt{1 - (b^2/a^2)} \]

خروج از مرکز است.

۳. ظرفیت خازن از دو صفحه بیضوی.

۴. میدان مغناطیسی یک حلقه جریان.

محاسبه عددی

\[ K(k) \]

و

\[ E(k) \]

معمولا با روش میانگین حسابی-هندسی (AGM) انجام می شود که همگرایی بسیار سریعی دارد.