انتگرال ناقص (Incomplete Elliptic Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال ناقص (Incomplete Elliptic Integral) :
انتگرال های ناقص (Incomplete Elliptic Integrals) به آن دسته از انتگرال های بیضوی گفته می شود که در آن ها کران بالای انتگرال گیری یک مقدار دلخواه
\[ \phi \]است (نه لزوما
\[ \pi/2 \]). این انتگرال ها به سه نوع اول، دوم و سوم تقسیم می شوند.
انتگرال بیضوی ناقص نوع اول:
\[ F(\phi, k) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \].
انتگرال بیضوی ناقص نوع دوم:
\[ E(\phi, k) = \int_0^\phi \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta} \, d\theta \].
انتگرال بیضوی ناقص نوع سوم:
\[ \Pi(\phi, n, k) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{(1 - n \sin^2\theta)\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \].
این انتگرال ها در مسائلی ظاهر می شوند که فقط بخشی از یک پدیده تناوبی مد نظر است، مانند طول کمان بخشی از یک بیضی، یا حرکت یک آونگ تا زاویه ای خاص (نه یک دوره کامل).
اگر
\[ \phi = \pi/2 \]باشد، این انتگرال ها به انتگرال های کامل تبدیل می شوند. رابطه بین ناقص و کامل:
\[ F(\pi/2, k) = K(k) \]،
\[ E(\pi/2, k) = E(k) \].
\[ \text{مثال: } F(\phi, 0) = \phi, \quad F(\phi, 1) = \ln|\sec\phi + \tan\phi| \]برای
\[ k=0 \]، انتگرال های ناقص به توابع مثلثاتی ساده تبدیل می شوند:
\[ E(\phi, 0) = \phi \]،
\[ \Pi(\phi, n, 0) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{1 - n \sin^2\theta} \]که با تغییر متغیر قابل محاسبه است.
برای
\[ k=1 \]، انتگرال نوع اول ناقص به
\[ \int_0^\phi \frac{d\theta}{\cos\theta} = \ln|\sec\phi + \tan\phi| \]تبدیل می شود (که همان آرک تانژانت هیپربولیک است).
انتگرال های بیضوی ناقص خواص تحلیلی جالبی دارند، از جمله روابط افزایشی (addition theorems) که آن ها را به توابع بیضوی ژاکوبی مرتبط می کند.
در کاربردهای عددی، برای محاسبه این انتگرال ها از سری های همگرا یا روش های مبتنی بر میانگین حسابی-هندسی (AGM) استفاده می شود.
در فیزیک، برای مثال، میدان مغناطیسی یک حلقه در یک نقطه دلخواه خارج از محور با انتگرال های بیضوی ناقص بیان می شود.
توابع بیضوی مانند
\[ \operatorname{sn}(u,k) \]معکوس
\[ F(\phi, k) \]هستند، یعنی
\[ u = F(\phi, k) \]و
\[ \phi = \operatorname{sn}^{-1}(u,k) \].
