انتگرال بیضوی نوع سوم (Elliptic Integral of the Third Kind)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال بیضوی نوع سوم (Elliptic Integral of the Third Kind) :

انتگرال بیضوی نوع سوم (Elliptic Integral of the Third Kind) کلی ترین نوع است و یک پارامتر اضافی

\[ n \]

دارد:

\[ \Pi(\phi, n, k) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{(1 - n \sin^2\theta) \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \]

که در آن

\[ 0 < k < 1 \]

مدول بیضوی و

\[ n \]

یک پارامتر (معمولا حقیقی) است. این انتگرال در مسائلی ظاهر می شود که یک عامل اضافی مانند یک میدان خارجی یا یک ناهمگنی وجود داشته باشد.

انتگرال کامل نوع سوم:

\[ \Pi(n, k) = \Pi(\pi/2, n, k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{(1 - n \sin^2\theta) \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \]

.

اگر

\[ n = 0 \]

، به انتگرال نوع اول تبدیل می شود. اگر

\[ n = k^2 \]

، رابطه خاصی با نوع دوم دارد.

خواص:

\[ \Pi(n, k) \]

می تواند بر حسب

\[ K(k) \]

و

\[ E(k) \]

و توابع ابتدایی بیان شود (در برخی موارد خاص). برای

\[ n > 1 \]

، انتگرال ممکن است واگرا شود.

کاربردها: در الکترومغناطیس برای محاسبه پتانسیل یک حلقه باردار با یک صفحه دی الکتریک، در مکانیک برای حرکت یک آونگ تحت تأثیر یک گشتاور ثابت، و در نظریه نسبیت برای محاسبه خمش نور در میدان گرانشی.

مثال: پتانسیل الکتریکی یک حلقه باردار نازک به شعاع

\[ R \]

در فاصله محوری

\[ z \]

با انتگرال بیضوی نوع سوم قابل بیان است.

انتگرال های بیضوی نوع سوم کمتر از دو نوع دیگر رایج هستند، اما در مسائل پیشرفته فیزیک و مهندسی ظاهر می شوند.

توابع بیضوی معکوس این انتگرال ها، توابع بیضوی ژاکوبی از نوع سوم را تشکیل می دهند.