انتگرال بیضوی نوع دوم (Elliptic Integral of the Second Kind)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال بیضوی نوع دوم (Elliptic Integral of the Second Kind) :

انتگرال بیضوی نوع دوم (Elliptic Integral of the Second Kind) به صورت زیر تعریف می شود:

\[ E(\phi, k) = \int_0^\phi \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta} \, d\theta \]

این انتگرال، طول کمان یک بیضی با نیم محورهای

\[ a \]

و

\[ b \]

را توصیف می کند. اگر

\[ e = \sqrt{1 - (b^2/a^2)} \]

خروج از مرکز بیضی باشد، طول کمان از نقطه

\[ (a,0) \]

تا نقطه با زاویه

\[ \phi \]

برابر

\[ a E(\phi, e) \]

است.

انتگرال کامل نوع دوم:

\[ E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta} \, d\theta \]

.

مقدار

\[ E(k) \]

در

\[ k=0 \]

برابر

\[ \pi/2 \]

است و با افزایش

\[ k \]

کاهش می یابد تا در

\[ k=1 \]

به ۱ می رسد.

خواص:

\[ E(k) = \frac{\pi}{2} \, {}_2F_1(-1/2, 1/2; 1; k^2) \]

با تابع فوق هندسی. همچنین رابطه

\[ \frac{dE}{dk} = \frac{E(k) - K(k)}{k} \]

برقرار است.

کاربردها: طول کمان بیضی، محیط بیضی (که برابر

\[ 4a E(e) \]

است)، مساحت روی بیضی گون، و در نظریه پوسته های الاستیک.

مثال: محیط یک بیضی با نیم محورهای

\[ a=5 \]

و

\[ b=3 \]

(خروج از مرکز

\[ e = \sqrt{1-(9/25)} = 4/5 \]

) برابر

\[ 20 E(0.8) \]

است.