انتگرال بیضوی نوع اول (Elliptic Integral of the First Kind)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال بیضوی نوع اول (Elliptic Integral of the First Kind) :

انتگرال بیضوی نوع اول (Elliptic Integral of the First Kind) به صورت زیر تعریف می شود:

\[ F(\phi, k) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \]

که در آن

\[ 0 < k < 1 \]

مدول بیضوی و

\[ \phi \]

دامنه نامیده می شود. این انتگرال، طول کمان روی یک بیضی یا پریود آونگ ساده با نوسانات بزرگ را توصیف می کند.

اگر

\[ \phi = \pi/2 \]

باشد، انتگرال کامل نوع اول نامیده می شود و با

\[ K(k) \]

نشان داده می شود:

\[ K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \]

.

تابع

\[ K(k) \]

در

\[ k=0 \]

برابر

\[ \pi/2 \]

و با نزدیک شدن

\[ k \]

به ۱ به طور لگاریتمی به بی نهایت میل می کند (زیرا انتگرال واگرا می شود).

خواص:

\[ K(k) \]

یک تابع افزایشی از

\[ k \]

است. همچنین رابطه

\[ K(k) = \frac{\pi}{2} \, {}_2F_1(1/2, 1/2; 1; k^2) \]

با تابع فوق هندسی برقرار است.

انتگرال بیضوی نوع اول در فیزیک برای توصیف حرکت آونگ غیرخطی، میدان یک آهنربای حلقه ای، و توزیع بار روی یک صفحه بیضوی کاربرد دارد.

معکوس تابع

\[ F(\phi, k) \]

نسبت به

\[ \phi \]

، تابع بیضوی ژاکوبی

\[ \operatorname{sn} \]

(که مشابه سینوس مثلثاتی است) را به دست می دهد.

مثال: دوره تناوب یک آونگ ساده با دامنه

\[ \theta_0 \]

برابر

\[ T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} K(\sin(\theta_0/2)) \]

است.