انتگرال بیضوی (Elliptic Integral)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال بیضوی (Elliptic Integral) :

انتگرال های بیضوی (Elliptic Integrals) دسته ای از انتگرال های مهم هستند که در ابتدا برای محاسبه طول کمان بیضی ظاهر شدند. این انتگرال ها را نمی توان بر حسب توابع ابتدایی (چندجمله ای، نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی) بیان کرد و به عنوان توابع ویژه جدیدی معرفی شدند.

یک انتگرال بیضوی به صورت کلی به شکل

\[ \int R(x, \sqrt{P(x)}) dx \]

است که

\[ P \]

یک چندجمله ای درجه ۳ یا ۴ بدون ریشه تکراری است و

\[ R \]

یک تابع گویا است. با تغییر متغیرهای مناسب، هر انتگرال بیضوی را می توان به سه نوع استاندارد کاهش داد که به نام های انتگرال بیضوی نوع اول، دوم و سوم شناخته می شوند.

شکل استاندارد این انتگرال ها (به فرم لژاندر) به صورت زیر است:

نوع اول:

\[ F(\phi, k) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \]

نوع دوم:

\[ E(\phi, k) = \int_0^\phi \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta} \, d\theta \]

نوع سوم:

\[ \Pi(\phi, n, k) = \int_0^\phi \frac{d\theta}{(1 - n \sin^2\theta)\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \]

که در آن

\[ k \]

(معمولا

\[ 0 < k < 1 \]

) مدول بیضوی و

\[ n \]

یک پارامتر است. اگر

\[ \phi = \pi/2 \]

باشد، این انتگرال ها را "کامل" می نامند.

\[ K(k) = F(\pi/2, k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \] \[ E(k) = E(\pi/2, k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta} \, d\theta \]

انتگرال های بیضوی در مسائل فیزیکی مانند آونگ ساده (با دامنه زیاد)، میدان مغناطیسی یک حلقه، تابش الکترومغناطیسی، و مکانیک سماوی (مدارهای بیضوی) ظاهر می شوند.

توابع بیضوی (مانند توابع ژاکوبی) معکوس این انتگرال ها هستند و خواص جالب توجهی دارند (دو تناوبی در صفحه مختلط).