انتگرال دوایر (Circle Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال دوایر (Circle Integral) :
انتگرال دوایر (Circle Integral) اصطلاحی است که گاهی برای انتگرال گیری روی دایره (در صفحه مختلط یا حقیقی) به کار می رود. این مفهوم می تواند شامل موارد زیر باشد:
۱. انتگرال خطی روی یک دایره (در آنالیز مختلط):
\[ \oint_{|z|=R} f(z) dz \].
۲. انتگرال دوگانه روی ناحیه دایره ای (در مختصات قطبی):
\[ \iint_{x^2+y^2 \le R^2} f(x,y) dA \].
۳. انتگرال های خاصی که با توابع بسل یا سایر توابع ویژه مرتبط هستند و روی دایره ظاهر می شوند.
در آنالیز مختلط، انتگرال روی دایره با مرکز
\[ a \]و شعاع
\[ R \]اغلب برای استفاده از فرمول انتگرال کوشی یا قضیه مانده ها به کار می رود. اگر
\[ f \]تحلیلی باشد،
\[ \oint_{|z-a|=R} \frac{f(z)}{z-a} dz = 2\pi i f(a) \].
در حسابان حقیقی، انتگرال دوگانه روی دایره معمولا با تبدیل به مختصات قطبی ساده می شود:
\[ \iint_{x^2+y^2 \le R^2} f(x,y) dA = \int_0^{2\pi} \int_0^R f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r dr d\theta \]اگر
\[ f \]تابعی شعاعی باشد، یعنی
\[ f(x,y) = g(r) \]، آن گاه انتگرال به
\[ 2\pi \int_0^R g(r) r dr \]تبدیل می شود.
مثال:
\[ \iint_{x^2+y^2 \le R^2} e^{-(x^2+y^2)} dA = \int_0^{2\pi} \int_0^R e^{-r^2} r dr d\theta = \pi (1 - e^{-R^2}) \].
انتگرال دوایر در فیزیک برای محاسبه گشتاورهای اینرسی، میدان های حلقوی، و مسائل با تقارن دایره ای کاربرد دارد.
در نظریه اعداد، انتگرال های روی دایره واحد در مطالعه سری های فوریه و تابع مولد ظاهر می شوند.
