انتگرال از تابع وارون (Integral of Inverse Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال از تابع وارون (Integral of Inverse Functions) :
انتگرال از تابع وارون (Integral of Inverse Functions) به رابطه ای بین انتگرال یک تابع و انتگرال وارون آن اشاره دارد. اگر
\[ f \]یک تابع اکیدا یکنوا و مشتق پذیر با وارون
\[ f^{-1} \]باشد، آن گاه رابطه زیر برقرار است:
\[ \int f^{-1}(x) \, dx = x f^{-1}(x) - \int f(y) \, dy \Big|_{y=f^{-1}(x)} \]که در آن
\[ y = f^{-1}(x) \]است. این فرمول با تغییر متغیر و جزء به جزء قابل اثبات است.
به طور دقیق تر، اگر
\[ F \]یک پادمشتق برای
\[ f \]باشد، آن گاه
\[ \int f^{-1}(x) dx = x f^{-1}(x) - F(f^{-1}(x)) + C \].
این فرمول می تواند برای محاسبه انتگرال توابع وارون (مانند
\[ \arcsin x \]،
\[ \ln x \]که وارون
\[ e^x \]است) مفید باشد. البته این توابع معمولا با جزء به جزء مستقیم هم محاسبه می شوند، اما این رابطه دیدگاه متفاوتی ارائه می دهد.
مثال: برای
\[ f(y) = e^y \]،
\[ f^{-1}(x) = \ln x \]. طبق فرمول،
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - \int e^y dy|_{y=\ln x} = x \ln x - x + C \].
مثال دیگر: برای
\[ f(y) = \sin y \]روی
\[ [-\pi/2, \pi/2] \]،
\[ f^{-1}(x) = \arcsin x \]، و
\[ F(y) = -\cos y \]، پس
\[ \int \arcsin x \, dx = x \arcsin x - (-\cos(\arcsin x)) + C = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C \].
این رابطه در اثبات قضایای نظری و همچنین در برخی مسائل کاربردی که تابع وارون به طور طبیعی ظاهر می شود، مفید است.
در هندسه، این رابطه با مساحت مستطیل ها و زیرمنحنی ها ارتباط دارد: اگر
\[ f \]افزایشی باشد، آن گاه
\[ \int_a^b f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y) dy = b f(b) - a f(a) \].
کاربردها: در نظریه احتمال برای محاسبه امید ریاضی توابع وارون تابع توزیع، و در اقتصاد برای توابع مطلوبیت معکوس.
