انتگرال کوشی (Cauchy Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال کوشی (Cauchy Integral) :
انتگرال کوشی (Cauchy Integral) معمولا به فرمول انتگرال کوشی اشاره دارد که یکی از قضایای بنیادی در آنالیز مختلط است. این فرمول بیان می کند که اگر
\[ f \]یک تابع تحلیلی (هولومورفیک) در یک ناحیه همبند ساده
\[ D \]باشد و
\[ \gamma \]یک کانتور بسته ساده درون
\[ D \]باشد، آن گاه برای هر نقطه
\[ a \]درون
\[ \gamma \]داریم:
\[ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a} \, dz \]این فرمول نشان می دهد که مقدار تابع در هر نقطه داخلی کاملا توسط مقادیر تابع روی مرز تعیین می شود. این خاصیت بسیار قدرتمند است.
فرمول تعمیم یافته برای مشتقات:
\[ f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} dz \].
از این فرمول ها برای محاسبه انتگرال های مختلف و اثبات خواص توابع تحلیلی استفاده می شود.
انتگرال کوشی همچنین به نوع خاصی از انتگرال ها روی خط حقیقی گفته می شود که در آنها هسته کوشی
\[ \frac{1}{x-t} \]ظاهر می شود. برای مثال، انتگرال کوشی روی خط حقیقی به صورت
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(t)}{t-x} dt \](با مقدار اصلی کوشی) تعریف می شود و در نظریه معادلات انتگرالی و مسائل مقدار مرزی کاربرد دارد.
تبدیل هیلبرت (Hilbert transform) یک نمونه از انتگرال کوشی روی خط حقیقی است.
کاربردها: در فیزیک، برای حل مسائل پتانسیل و میدان های الکترواستاتیک، در مکانیک سیالات برای جریان های پتانسیل، و در پردازش سیگنال برای تحلیل سیگنال های تحلیلی.
مثال: محاسبه
\[ \oint_{|z|=1} \frac{e^z}{z} dz = 2\pi i e^0 = 2\pi i \].
انتگرال کوشی ابزاری ضروری برای مطالعه توابع تحلیلی و کاربردهای آن ها است.
