انتگرال مختلط (Complex Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال مختلط (Complex Integral) :
انتگرال مختلط (Complex Integral) یک مفهوم کلی تر است که شامل انتگرال کانتور نیز می شود. این انتگرال گیری از توابع با مقادیر مختلط روی خط حقیقی یا روی منحنی ها در صفحه مختلط است.
انتگرال مختلط روی خط حقیقی: اگر
\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \]باشد، آن گاه
\[ \int_a^b f(t) dt = \int_a^b \operatorname{Re}f(t) dt + i \int_a^b \operatorname{Im}f(t) dt \].
خواص: خطی بودن، و اگر
\[ |f| \le M \]، آن گاه
\[ |\int f| \le M(b-a) \].
انتگرال مختلط روی منحنی ها (کانتور) در بخش قبل توضیح داده شد. نکته مهم این است که انتگرال مختلط نسبت به طول قوس نیز تعریف می شود:
\[ \int_\gamma f(z) \, |dz| = \int_a^b f(z(t)) |z'(t)| dt \]که یک عدد حقیقی است (معمولا).
انتگرال مختلط نسبت به
\[ dz \]به جهت کانتور بستگی دارد:
\[ \int_{\gamma^-} f(z) dz = -\int_\gamma f(z) dz \].
در آنالیز مختلط، مطالعه انتگرال های مختلط به درک عمیق تری از توابع تحلیلی منجر می شود. به عنوان مثال، اگر
\[ f \]تحلیلی باشد، انتگرال آن روی یک کانتور بسته صفر است، و مقدار تابع درون کانتور توسط انتگرال روی مرز تعیین می شود.
کاربردهای انتگرال مختلط در حل مسائل مقدار مرزی، دینامیک سیالات (پتانسیل مختلط)، و نظریه میدان های الکترومغناطیس است.
مثال: انتگرال
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(2ax) dx \]با استفاده از روش های مختلط محاسبه می شود.
انتگرال های مختلط همچنین در نظریه تبدیلات انتگرالی مانند تبدیل فوریه و لاپلاس نقش دارند.
