انتگرال کانتور (Contour Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال کانتور (Contour Integral) :
انتگرال کانتور (Contour Integral) در آنالیز مختلط، انتگرال گیری از توابع مختلط در طول یک منحنی (کانتور) در صفحه مختلط است. اگر
\[ f(z) \]یک تابع مختلط و
\[ \gamma \]یک منحنی پارامتری شده با
\[ z(t) \]برای
\[ a \le t \le b \]باشد، آن گاه انتگرال کانتور به صورت زیر تعریف می شود:
\[ \int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(z(t)) \, z'(t) \, dt \]این انتگرال مشابه انتگرال خطی در صفحه حقیقی است، با این تفاوت که همه کمیت ها مختلط هستند. نتیجه یک عدد مختلط است.
اگر
\[ \gamma \]یک منحنی بسته باشد، انتگرال را با نماد
\[ \oint_\gamma \]نشان می دهند.
ویژگی مهم: اگر
\[ f \]تحلیلی (هولومورفیک) باشد و
\[ \gamma \]در ناحیه ای که
\[ f \]تحلیلی است قرار گیرد، آن گاه انتگرال کانتور مستقل از مسیر است (قضیه کوشی).
قضیه انتگرال کوشی: اگر
\[ f \]در یک ناحیه همبند ساده تحلیلی باشد، آن گاه برای هر کانتور بسته
\[ \gamma \]در آن ناحیه،
\[ \oint_\gamma f(z) \, dz = 0 \].
فرمول انتگرال کوشی: اگر
\[ f \]تحلیلی و
\[ a \]نقطه ای داخل
\[ \gamma \]باشد، آن گاه:
\[ f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a} dz \]این فرمول قدرتمند، مقدار تابع را بر حسب مقادیر روی کانتور بیان می کند.
قضیه مانده ها (Residue Theorem): اگر
\[ f \]در داخل و روی
\[ \gamma \]به جز تعدادی نقطه منفرد تحلیلی باشد، آن گاه
\[ \oint_\gamma f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, a_k) \]که در آن
\[ \text{Res} \]مانده تابع در نقاط منفرد است. این قضیه ابزاری بسیار قدرتمند برای محاسبه انتگرال های حقیقی و مختلط است.
کاربردها: محاسبه انتگرال های حقیقی ناسره (مانند
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1} \])، حل معادلات دیفرانسیل، تبدیلات انتگرالی، و فیزیک ریاضی.
مثال: محاسبه
\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2+1} dx \]با استفاده از مانده ها.
انتگرال کانتور همچنین در نظریه تابع های خاص و توابع زتای ریمان ظاهر می شود.
