انتگرال وینر (Wiener Integral) (انتگرال گیری روی فضای وینر)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال وینر (Wiener Integral) (انتگرال گیری روی فضای وینر) :
انتگرال وینر (Wiener Integral) نوعی انتگرال گیری در فضای توابع پیوسته (معمولا فضای وینر) است که توسط نوربرت وینر برای مدل سازی حرکت براونی ابداع شد. این انتگرال پایه ای برای حسابان تصادفی و انتگرال ایتو است.
فضای وینر، فضای تمام مسیرهای پیوسته
\[ \omega: [0,T] \to \mathbb{R} \]با شرط
\[ \omega(0)=0 \]است که به آن اندازه وینر (یک اندازه احتمال) نسبت داده می شود. این اندازه، توزیع احتمال حرکت براونی را توصیف می کند.
انتگرال وینر برای توابع روی این فضا (عملگرهای تصادفی) تعریف می شود. ساده ترین نوع، انتگرال وینر نسبت به حرکت براونی برای توابع قطعی (non-random) است. اگر
\[ f \in L^2[0,T] \]یک تابع مربع-انتگرال پذیر باشد، انتگرال وینر آن به صورت
\[ \int_0^T f(t) \, dW_t(\omega) \]تعریف می شود که در آن
\[ W_t \]حرکت براونی است.
این انتگرال یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال است:
\[ \int_0^T f \, dW \sim \mathcal{N}(0, \int_0^T f(t)^2 dt) \].
\[ \int_0^T f(t) \, dW_t \sim N\left(0, \int_0^T f(t)^2 dt\right) \]انتگرال وینر برای توابع پله ای ابتدا تعریف می شود و سپس با استفاده از تقریب و حدگیری به توابع دلخواه در
\[ L^2 \]گسترش می یابد. این فرآیند شبیه به ساخت انتگرال ایتو است، اما در اینجا
\[ f \]غیرتصادفی است.
خواص:
۱. خطی بودن:
\[ \int (af+bg) dW = a\int f dW + b\int g dW \].
۲. ایزومتری:
\[ E[(\int f dW)^2] = \int f^2 dt \].
۳. همبستگی:
\[ E[(\int f dW)(\int g dW)] = \int f g dt \].
انتگرال وینر نقش کلیدی در بسط آشوب وینر (Wiener chaos) دارد. هر متغیر تصادفی مربع-انتگرال پذیر روی فضای وینر را می توان به صورت سری ای از چندجمله ای های هرمیت از انتگرال های وینر نوشت.
این انتگرال همچنین در فیزیک کوانتومی (انتگرال گیری مسیر فاینمن) و پردازش سیگنال کاربرد دارد.
تفاوت با انتگرال ایتو: در انتگرال ایتو، انتگرال ده
\[ X_t \]می تواند یک فرآیند تصادفی وابسته به
\[ W \]باشد، در حالی که در انتگرال وینر،
\[ f \]یک تابع قطعی است. بنابراین انتگرال وینر حالت خاصی از انتگرال ایتو است.
مثال:
\[ \int_0^T t \, dW_t \]یک متغیر تصادفی نرمال با میانگین صفر و واریانس
\[ \int_0^T t^2 dt = T^3/3 \]است.
انتگرال وینر ابزاری اساسی برای ساخت فرآیندهای تصادفی و مطالعه خواص آن ها است.
