انتگرال اسکوروخود (Skorokhod Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال اسکوروخود (Skorokhod Integral) :
انتگرال اسکوروخود (Skorokhod Integral) تعمیمی از انتگرال ایتو است که توسط آناتولی اسکوروخود در دهه ۱۹۷۰ معرفی شد. این انتگرال امکان انتگرال گیری از فرآیندهایی را فراهم می کند که لزوما با فیلتراسیون فعلی سازگار نیستند (یعنی می توانند به آینده وابسته باشند). به عبارت دیگر، برخلاف انتگرال ایتو که نیاز به غیرجلوگیری (non-anticipating) بودن انتگرال ده دارد، انتگرال اسکوروخود این شرط را ندارد.
انتگرال اسکوروخود بر اساس مفهوم مشتق مالیاون (Malliavin calculus) تعریف می شود. در واقع، این انتگرال الحاقی عملگر مشتق مالیاون است. اگر
\[ u \]یک فرآیند تصادفی باشد (که می تواند به کل مسیر براونی وابسته باشد)، آن گاه انتگرال اسکوروخود
\[ u \]نسبت به حرکت براونی با
\[ \delta(u) \]یا
\[ \int u_t \, \delta W_t \]نشان داده می شود.
تعریف دقیق: فرض کنید
\[ F \]یک متغیر تصادفی مشتق پذیر مالیاون باشد و
\[ u \]یک فرآیند. آن گاه
\[ \int u_t \, \delta W_t \]به عنوان متغیر تصادفی ای تعریف می شود که برای هر
\[ F \]،
\[ E[F \int u_t \delta W_t] = E[\int D_t F \, u_t dt] \]، که در آن
\[ D_t F \]مشتق مالیاون
\[ F \]است.
\[ E\left[ F \int_0^T u_t \, \delta W_t \right] = E\left[ \int_0^T D_t F \, u_t dt \right] \]برای فرآیندهای سازگار (غیرجلو)، انتگرال اسکوروخود با انتگرال ایتو برابر است. اما برای فرآیندهای غیرسازگار، این دو متفاوت اند.
کاربردها: انتگرال اسکوروخود در مسائل کنترل تصادفی با اطلاعات کامل (که کنترل گر می تواند به آینده نگاه کند)، در فیزیک آماری (برای سیستم های با حافظه)، و در نظریه میدان های کوانتومی کاربرد دارد.
محاسبه مستقیم انتگرال اسکوروخود دشوار است و معمولا از طریق سری های آشوب وینر (Wiener chaos) یا فرمول های مبتنی بر مشتق مالیاون انجام می شود.
مثال: اگر
\[ u_t = W_T \](که به کل مسیر وابسته است و سازگار نیست)، آن گاه
\[ \int_0^T W_T \delta W_t = W_T \int_0^T \delta W_t = W_T^2 \](با استفاده از خاصیت خطی و این که انتگرال اسکوروخود از ثابت برابر ضرب در
\[ W_T \]است).
انتگرال اسکوروخود ابزاری پیشرفته در آنالیز تصادفی است و در پژوهش های ریاضی و فیزیک نظری کاربرد دارد.
