انتگرال ایتو (Itô Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال ایتو (Itô Integral) :
انتگرال ایتو (Itô Integral) یکی از اساسی ترین مفاهیم در حسابان تصادفی (Stochastic Calculus) است. این انتگرال توسط ریاضیدان ژاپنی کیوشی ایتو در دهه ۱۹۴۰ برای مدل سازی فرآیندهای تصادفی به ویژه حرکت براونی ابداع شد.
انتگرال ایتو برای انتگرال گیری از یک فرآیند تصادفی (مانند
\[ X_t \]) نسبت به یک فرآیند تصادفی دیگر (معمولا حرکت براونی
\[ W_t \]) به کار می رود. نماد آن
\[ \int_0^T X_t \, dW_t \]است.
ویژگی کلیدی انتگرال ایتو این است که انتگرال گیر (
\[ W_t \]) تغییرات ناگهانی و غیرقابل پیش بینی زیادی دارد (مسیرهای آن تقریبا در هیچ جا مشتق پذیر نیستند). بنابراین، انتگرال گیری به روش معمول (ریمان-استیلتیس) معنی ندارد و باید تعریف جدیدی ارائه کرد.
ایده اصلی: مشابه جمع های ریمان، اما با انتخاب نقاط میانی در ابتدای هر زیربازه (چپ-انتخابی). یعنی اگر
\[ 0 = t_0 < t_1 < ... < t_n = T \]یک افراز باشد، جمع های تقریبی به صورت
\[ \sum_{i=0}^{n-1} X_{t_i} (W_{t_{i+1}} - W_{t_i}) \]تعریف می شوند. حد این جمع ها (در mean-square) انتگرال ایتو است.
\[ \int_0^T X_t \, dW_t = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n-1} X_{t_i} (W_{t_{i+1}} - W_{t_i}) \]انتخاب نقطه چپ (غیرجلو) باعث می شود که انتگرال ایتو یک مارتینگیل باشد و خاصیت غیرجلوگیری (non-anticipating) را حفظ کند، که برای مدل سازی در بازارهای مالی ضروری است.
خواص مهم انتگرال ایتو:
۱. خاصیت ایزومتری ایتو:
\[ E[(\int X_t dW_t)^2] = E[\int X_t^2 dt] \].
۲. انتگرال ایتو یک مارتینگیل است (تحت شرایط مناسب).
۳. فرمول ایتو (قاعده زنجیری برای حسابان تصادفی) که تغییر متغیر را برای توابعی از فرآیندهای تصادفی بیان می کند.
کاربردها: قیمت گذاری اختیار معامله (مدل بلک-شولز)، مهندسی مالی، فیزیک آماری، و کنترل تصادفی.
مثال:
\[ \int_0^T W_t dW_t = \frac{1}{2} (W_T^2 - T) \]که با فرمول ایتو به دست می آید.
