انتگرال دانکل (Dunkl Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال دانکل (Dunkl Integral) :
انتگرال دانکل (Dunkl Integral) یک نوع انتگرال خاص است که در ارتباط با عملگرهای دانکل (Dunkl operators) و تحلیل هارمونیک روی فضاهای با تقارن بازتابی (مانند گروه�های کاکستر) ظاهر می شود. این عملگرها و انتگرال ها توسط چارلز دانکل در دهه ۱۹۸۰ معرفی شدند.
عملگرهای دانکل تعمیماتی از مشتقات جزئی هستند که با یک سیستم ریشه (root system) و یک تابع وزن (weight function) که نسبت به بازتاب ها ناورداست، همراهند. انتگرال دانکل معمولا نسبت به این تابع وزن و با در نظر گرفتن ساختار گروه بازتابی تعریف می شود.
یک مثال ساده: در یک بعد، عملگر دانکل به صورت
\[ T f(x) = f'(x) + k \frac{f(x) - f(-x)}{x} \]تعریف می شود که
\[ k \]یک پارامتر است. انتگرال متناظر با این عملگر، انتگرال دانکل نامیده می شود و با ویژگی هایی مانند انتگرال گیری جزء به جزء با این عملگر همراه است.
\[ \int_{-\infty}^{\infty} T f(x) \, g(x) \, d\mu_k(x) = -\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, T g(x) \, d\mu_k(x) \]که در آن
\[ d\mu_k(x) = |x|^{2k} dx \](تا یک ضریب) است.
انتگرال دانکل در فیزیک ریاضی، نظریه بازنمایی گروه ها، و مسائل مقدار مرزی با تقارن خاص کاربرد دارد. همچنین در مطالعه چندجمله ای های متعامد با وزن های خاص ظاهر می شود.
این مفهوم پیشرفته تر از انتگرال های معمولی است و بیشتر در پژوهش های ریاضی مطرح می شود.
