انتگرال دنباله ای (Sequential Integral)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال دنباله ای (Sequential Integral) :

انتگرال دنباله ای (یا انتگرال به روش دنباله ها) یک رویکرد برای تعریف انتگرال بر اساس حد دنباله ای از توابع ساده است. این مفهوم بیشتر در آنالیز تابعی و نظریه اندازه دیده می شود.

ایده اصلی: برای یک تابع

\[ f \]

که روی یک فضای اندازه پذیر تعریف شده است، یک دنباله از توابع ساده (یا توابع پله ای) مانند

\[ \{s_n\} \]

پیدا می کنیم که به

\[ f \]

همگرا هستند (نقطه ای یا یکنواخت). سپس انتگرال

\[ f \]

را به عنوان حد انتگرال های

\[ s_n \]

تعریف می کنیم، اگر این حد وجود داشته باشد و مستقل از انتخاب دنباله باشد.

\[ \int f = \lim_{n\to\infty} \int s_n \]

در نظریه لبگ، این روش برای تعریف انتگرال توابع غیرمنفی استفاده می شود: ابتدا برای توابع ساده انتگرال تعریف می شود، سپس برای یک تابع غیرمنفی دلخواه، انتگرال به عنوان بزرگترین مقدار زیرین انتگرال های توابع ساده ای که از پایین به

\[ f \]

نزدیک می شوند، تعریف می گردد. این یک نوع حد دنباله ای است (با سوپریمم).

در برخی متون، انتگرال دنباله ای به عنوان روشی برای انتگرال گیری توابعی که با دنباله ای از توابع انتگرال پذیر تقریب زده می شوند، معرفی می شود. این روش در اثبات قضایای همگرایی (مانند همگرایی یکنواخت و dominated) نقش کلیدی دارد.

انتگرال دنباله ای همچنین در تعریف انتگرال بوخنر (برای توابع با مقادیر برداری) و انتگرال پتری (برای توابع با مقادیر در فضاهای برداری موضعا محدب) به کار می رود.

در عمل، این روش بیشتر جنبه نظری دارد تا محاسباتی، و برای اثبات خواص انتگرال ها به کار می رود.

مثال: اگر

\[ f_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f(\frac{k}{n}) \]

یک دنباله از توابع پله ای باشد که به

\[ f \]

روی

\[ [0,1] \]

همگراست، آن گاه انتگرال

\[ f \]

حد این دنباله است (که همان جمع ریمان است).