انتگرال هنستاک-کرتزویل (Henstock–Kurzweil Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال هنستاک-کرتزویل (Henstock–Kurzweil Integral) :
انتگرال هنستاک-کرتزویل (که با نام های انتگرال کالمون-هنستاک، انتگرال ریمون تعمیم یافته، یا انتگرال گِیج نیز شناخته می شود) یک تعمیم قدرتمند و در عین حال ساده از انتگرال ریمان است که توسط یاروسلاو کورتزویل و رالف هنستاک در دهه ۱۹۵۰ توسعه یافت. این انتگرال به اندازه انتگرال لبگ قدرتمند است اما تعریف آن به ریمان نزدیک تر است.
تفاوت اصلی با انتگرال ریمان در این است که در انتگرال هنستاک-کرتزویل، طول زیربازه ها (گِیج) می تواند به نقطه انتخابی
\[ t_i \]وابسته باشد. به عبارت دیگر، به جای یک نرم ثابت برای افراز، یک تابع مثبت
\[ \delta(t) \](که به آن گِیج می گویند) داریم و زیربازه ها باید آنقدر کوچک باشند که شرط
\[ x_i - x_{i-1} < \delta(t_i) \]برقرار باشد. این انعطاف پذیری باعث می شود که انتگرال بتواند توابع نوسانی شدید را نیز مدیریت کند.
تعریف: تابع
\[ f \]روی
\[ [a,b] \]انتگرال پذیر هنستاک-کرتزویل با مقدار
\[ I \]است اگر برای هر
\[ \epsilon > 0 \]، یک تابع مثبت
\[ \delta(x) \](گِیج) وجود داشته باشد به طوری که برای هر افراز با برچسب
\[ a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b \]و
\[ t_i \in [x_{i-1}, x_i] \]که در آن
\[ x_i - x_{i-1} < \delta(t_i) \]، داشته باشیم:
\[ \left| \sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i - x_{i-1}) - I \right| < \epsilon \]این تعریف بسیار شبیه به تعریف ریمان است، با این تفاوت که
\[ \delta \]می تواند تابعی از نقطه باشد (در ریمان،
\[ \delta \]ثابت است).
ویژگی های مهم:
۱. هر تابع انتگرال پذیر لبگ، انتگرال پذیر هنستاک-کرتزویل است و دو انتگرال برابرند.
۲. برخی توابع که انتگرال پذیر لبگ نیستند، مانند تابع
\[ f(x) = \frac{d}{dx}(x^2 \sin(1/x^2)) \](که مشتق تابعی دیگر است)، انتگرال پذیر هنستاک-کرتزویل هستند.
۳. قضیه اساسی حسابان به صورت بسیار کلی برقرار است: اگر
\[ F \]در همه جای
\[ [a,b] \]مشتق پذیر باشد، آن گاه
\[ F' \]انتگرال پذیر هنستاک-کرتزویل است و
\[ \int_a^b F' = F(b)-F(a) \].
۴. قضایای همگرایی مانند قضیه همگرایی یکنواخت و dominated در شرایط مناسب برقرارند.
این انتگرال در آموزش آنالیز واقعی به دلیل سادگی تعریف و قدرت بالا محبوبیت یافته است.
