انتگرال دانژو (Denjoy Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال دانژو (Denjoy Integral) :
انتگرال دانژو (که گاهی انتگرال دنژو-پیرپون نیز نامیده می شود) یک تعمیم از انتگرال لبگ است که توسط آرنو دنژو در اوایل قرن بیستم برای بازیابی مشتق یک تابع (یعنی حل مسئله "انتگرال گیری نامعین" در حالت کلی تر) معرفی شد. این انتگرال قادر است توابعی را که مشتق آن ها تقریبا در همه جا وجود دارد اما ممکن است انتگرال پذیر لبگ نباشند، انتگرال گیری کند.
ایده اصلی انتگرال دانژو، استفاده از یک فرآیند بازگشتی (transfinite induction) برای پوشاندن نقاطی است که تابع رفتار بدی دارد. این انتگرال بسیار قوی است و می تواند انتگرال هر مشتقی (هر تابعی که مشتق تابع دیگری است) را محاسبه کند.
تعریف دقیق آن پیچیده است و مبتنی بر مفهوم "پوشش" با بازه ها و محاسبه سری های خاص است. اما نتیجه مهم این است که اگر تابعی روی یک بازه مشتق یک تابع دیگر باشد، آن تابع انتگرال پذیر دانژو است و انتگرال آن برابر با تفاضل مقادیر تابع اولیه در کرانه هاست. این ویژگی، انتگرال دانژو را به "معکوس کامل مشتق گیری" تبدیل می کند.
\[ \text{اگر } F'(x) = f(x) \text{ در همه جای } [a,b] \text{ (به جز یک مجموعه ناچیز)، آن گاه } \int_a^b f = F(b) - F(a) \]انتگرال دانژو گسترده تر از انتگرال لبگ است. مثلا تابع
\[ f(x) = x \sin(1/x^2) \]در همسایگی صفر رفتار نوسانی شدید دارد، اما مشتق تابع دیگری است و انتگرال دانژو آن (در صورت تعریف مناسب) وجود دارد، در حالی که انتگرال لبگ آن (به دلیل نوسانی بودن و انتگرال ناپذیری مطلق) وجود ندارد.
این انتگرال در تاریخ آنالیز ریاضی اهمیت دارد، اما امروزه کمتر مستقیما استفاده می شود و اغلب با انتگرال هنستاک-کرتزویل که تعریف ساده تری دارد، جایگزین شده است.
انواع دیگری از انتگرال دانژو وجود دارد (مانند انتگرال دانژو خاص و عام) که هر کدام تعاریف متفاوتی دارند.
انتگرال دانژو در مطالعه سری های مثلثاتی و بازسازی توابع از مشتق آن ها کاربرد دارد.
