انتگرال لبگ-استیلتیس (Lebesgue-Stieltjes Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال لبگ-استیلتیس (Lebesgue-Stieltjes Integral) :
انتگرال لبگ-استیلتیس ترکیبی از ایده های انتگرال لبگ و انتگرال ریمان-استیلتیس است. در این انتگرال، به جای اندازه لبگ (طول) از یک اندازه که توسط یک تابع افزایشی راست-پیوسته (مانند تابع توزیع) القا می شود، استفاده می گردد.
اگر
\[ g \]یک تابع افزایشی و راست-پیوسته روی
\[ \mathbb{R} \]باشد، می توان یک اندازه (که معمولا با
\[ \mu_g \]نشان داده می شود) روی خط حقیقی تعریف کرد به طوری که برای هر بازه
\[ [a,b) \]،
\[ \mu_g([a,b)) = g(b) - g(a) \]. این اندازه، اندازه لبگ-استیلتیس نامیده می شود.
سپس انتگرال لبگ-استیلتیس تابع
\[ f \]نسبت به
\[ g \]به عنوان انتگرال لبگ
\[ f \]نسبت به اندازه
\[ \mu_g \]تعریف می شود و با نماد
\[ \int f \, dg \]یا
\[ \int f(x) \, dg(x) \]نمایش داده می شود.
\[ \int f \, dg = \int f \, d\mu_g \]اگر
\[ g \]مشتق پذیر باشد و
\[ g' \]انتگرال پذیر لبگ، آن گاه
\[ \int f \, dg = \int f(x) g'(x) dx \](انتگرال لبگ معمولی).
اگر
\[ g \]تابع پله ای باشد، انتگرال لبگ-استیلتیس به یک جمع تبدیل می شود.
کاربرد اصلی این انتگرال در نظریه احتمال است. اگر
\[ X \]یک متغیر تصادفی با تابع توزیع
\[ F(x) = P(X \le x) \]باشد، آن گاه امید ریاضی
\[ E[X] \]به صورت
\[ \int x \, dF(x) \](انتگرال لبگ-استیلتیس) تعریف می شود. این تعریف هم برای متغیرهای گسسته و هم پیوسته کار می کند.
در فرآیندهای تصادفی، مانند حرکت براونی، از انتگرال های لبگ-استیلتیس نسبت به مسیرهای نمونه استفاده می شود.
خواص: خطی بودن، قضایای همگرایی مشابه انتگرال لبگ (با شرایط مناسب)، و فرمول انتگرال گیری جزء به جزء:
\[ \int_a^b f dg + \int_a^b g df = f(b)g(b) - f(a)g(a) \](در شرایط خاص).
انتگرال لبگ-استیلتیس چارچوبی یکپارچه برای انتگرال گیری نسبت به توزیع های احتمال فراهم می کند و در آمار، اقتصادسنجی و فیزیک آماری کاربرد دارد.
