انتگرال لبگ (Lebesgue Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال لبگ (Lebesgue Integral) :
انتگرال لبگ (Lebesgue Integral) یک تعمیم قدرتمند از انتگرال ریمان است که توسط آنری لبگ در اوایل قرن بیستم معرفی شد. این انتگرال بر اساس اندازه (measure) تعریف می شود و نسبت به انتگرال ریمان، توابع بیشتری را شامل می شود و خواص همگرایی بهتری دارد.
ایده اصلی انتگرال لبگ: به جای تقسیم دامنه (محور xها) به زیربازه ها و جمع زدن مقادیر تابع (روش ریمان)، در انتگرال لبگ، برد تابع را به بخش هایی تقسیم کرده و اندازه مجموعه نقاطی که تابع در آن بازه های برد قرار می گیرد را محاسبه می کنیم. این روش شبیه به شمارش تعداد سکه ها بر اساس ارزش آن هاست، نه بر اساس زمانی که به دست می آیند.
مراحل ساخت انتگرال لبگ برای یک تابع غیرمنفی:
۱. ابتدا برای توابع ساده (ترکیب خطی از توابع مشخصه مجموعه های اندازه پذیر) انتگرال را تعریف می کنیم: اگر
\[ s(x) = \sum_{i=1}^n a_i \chi_{E_i}(x) \]، آن گاه
\[ \int s \, d\mu = \sum_{i=1}^n a_i \mu(E_i) \].
۲. برای یک تابع غیرمنفی
\[ f \]، انتگرال لبگ به عنوان بزرگترین مقدار زیرین انتگرال های توابع ساده ای که از
\[ f \]پایین تر هستند تعریف می شود:
\[ \int f \, d\mu = \sup\{\int s \, d\mu : 0 \le s \le f, s \text{ simple}\} \].
۳. برای توابع با علامت متغیر، تابع را به بخش مثبت و منفی تفکیک کرده و انتگرال هر کدام را جداگانه محاسبه می کنیم، به شرطی که هر دو متناهی نباشند.
\[ \int f \, d\mu = \int f^+ \, d\mu - \int f^- \, d\mu \]مزایای انتگرال لبگ نسبت به ریمان:
۱. کلاس وسیع تری از توابع (از جمله توابع با ناپیوستگی های گسترده) انتگرال پذیر هستند. مثلا تابع دیریکله (که بر روی اعداد گویا ۱ و بر روی گنگها ۰ است) با انتگرال لبگ روی بازه
\[ [0,1] \]برابر ۰ است، اما انتگرال ریمان ندارد.
۲. قضایای همگرایی قدرتمند: مانند قضیه همگرایی یکنواخت لبگ، قضیه همگرایی dominated، و لم فاتو که تحت شرایط ضعیف تری نسبت به انتگرال ریمان برقرارند.
۳. ارتباط عمیق با نظریه اندازه و آنالیز تابعی.
انتگرال لبگ پایه ای برای آنالیز مدرن، نظریه احتمال (امید ریاضی به عنوان انتگرال لبگ نسبت به اندازه احتمال)، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، و فیزیک ریاضی است.
نکته: هر تابعی که انتگرال پذیر ریمان روی بازه بسته باشد، انتگرال پذیر لبگ نیز هست و دو انتگرال برابرند. اما عکس آن درست نیست.
اندازه لبگ روی خط حقیقی، همان طول معمولی است و انتگرال لبگ نسبت به این اندازه، تعمیم طبیعی انتگرال ریمان است.
