انتگرال ریمان-استیلتیس (Riemann-Stieltjes Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال ریمان-استیلتیس (Riemann-Stieltjes Integral) :
انتگرال ریمان-استیلتیس تعمیمی از انتگرال ریمان است که در آن به جای طول بازه ها (dx) از یک تابع افزایشی (یا به طور کلی تابع با تغییرات کراندار) به نام انتگرال گیر (integrator) استفاده می شود. این انتگرال به صورت
\[ \int_a^b f(x) \, dg(x) \]نمایش داده می شود که
\[ g \]تابع انتگرال گیر است.
اگر
\[ g(x) = x \]، انتگرال ریمان-استیلتیس به انتگرال ریمان معمولی تبدیل می شود. اما با انتخاب
\[ g \]های مختلف، می توان مفاهیم متفاوتی مانند انتگرال گیری نسبت به تابع توزیع احتمال، طول قوس، یا شار را مدل کرد.
تعریف: فرض کنید
\[ f \]و
\[ g \]روی
\[ [a,b] \]تعریف شده و
\[ g \]کراندار باشد. یک افراز
\[ P \]از
\[ [a,b] \]با نقاط
\[ a=x_0 \] \[ \int_a^b f \, dg = \lim_{\|P\|\to 0} \sum_{i=1}^n f(t_i) (g(x_i)-g(x_{i-1})) \]خواص مهم:
۱. خطی بودن:
\[ \int (c_1 f_1 + c_2 f_2) dg = c_1 \int f_1 dg + c_2 \int f_2 dg \]و همچنین
\[ \int f d(c_1 g_1 + c_2 g_2) = c_1 \int f dg_1 + c_2 \int f dg_2 \].
۲. انتگرال گیری جزء به جزء: اگر
\[ \int f dg \]وجود داشته باشد، آن گاه
\[ \int g df \]نیز وجود دارد و
\[ \int_a^b f dg + \int_a^b g df = f(b)g(b) - f(a)g(a) \].
۳. قضیه تغییر متغیر: تحت شرایط خاص.
۴. اگر
\[ g \]مشتق پذیر باشد و
\[ g' \]انتگرال پذیر ریمان، آن گاه
\[ \int_a^b f dg = \int_a^b f(x) g'(x) dx \].
۵. اگر
\[ f \]پیوسته و
\[ g \]از تغییرات کراندار باشد، انتگرال ریمان-استیلتیس وجود دارد.
کاربردها: در نظریه احتمال، انتگرال گیری نسبت به تابع توزیع (مثل
\[ \int x \, dF(x) \]برای امید ریاضی) یک انتگرال ریمان-استیلتیس است. در فیزیک، برای محاسبه کار انجام شده توسط نیروی متغیر با جابجایی که تابعی از موقعیت است. در مکانیک کوانتومی، انتگرال گیری نسبت به عملگرها.
این انتگرال همچنین پایه ای برای انتگرال لبگ-استیلتیس است.
مثال: اگر
\[ g \]تابع پله ای باشد، انتگرال ریمان-استیلتیس به یک جمع تبدیل می شود. مثلا اگر
\[ g(x) = 0 \]برای
\[ x \]در تحلیل تابعی، این انتگرال برای نمایش عملگرهای خطی روی فضاهای توابع پیوسته استفاده می شود.
