انتگرال ریمان (Riemann Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال ریمان (Riemann Integral) :
انتگرال ریمان اولین تعریف دقیق و رسمی از انتگرال معین است که توسط برنهارت ریمان در قرن نوزدهم ارائه شد. این تعریف بر اساس جمع های ریمان است.
تعریف: تابع
\[ f \]روی بازه
\[ [a,b] \]را در نظر بگیرید. یک افراز
\[ P \]از
\[ [a,b] \]به صورت مجموعه ای از نقاط
\[ a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b \]است. نرم افراز
\[ ||P|| \]برابر طول بزرگترین زیربازه است. برای هر زیربازه
\[ [x_{i-1}, x_i] \]، یک نقطه
\[ t_i \]اختیاری انتخاب می کنیم. جمع ریمان
\[ S(P,f) \]به صورت
\[ \sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i \]تعریف می شود.
اگر حد زیر وجود داشته باشد و مستقل از انتخاب
\[ t_i \]و نحوه افراز (با شرط
\[ ||P|| \to 0 \]) باشد، آن حد را انتگرال ریمان
\[ f \]روی
\[ [a,b] \]می نامیم:
\[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{||P|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i \]شرط لازم برای انتگرال پذیری ریمان این است که تابع روی بازه مورد نظر کراندار باشد و مجموعه نقاط ناپیوستگی آن اندازه صفر داشته باشد (مثلا تعداد شمارش پذیری از نقاط). توابع پیوسته و توابع یکنواخت بر روی بازه بسته، انتگرال پذیر ریمان هستند.
مثال تابعی که انتگرال پذیر ریمان نیست: تابع دیریکله که بر روی اعداد گویا 1 و بر روی اعداد گنگ 0 است. این تابع در هیچ نقطه ای پیوسته نیست و انتگرال ریمان آن تعریف نمی شود.
انتگرال ریمان خواص مهمی دارد: خطی بودن، یکنوایی، قضیه مقدار میانگین، و قضیه اساسی حسابان که رابطه بین انتگرال و مشتق را برقرار می کند.
قضیه اساسی حسابان (بخش اول): اگر
\[ f \]روی
\[ [a,b] \]پیوسته باشد، تابع
\[ F(x) = \int_a^x f(t) dt \]مشتق پذیر است و
\[ F'(x) = f(x) \].
قضیه اساسی حسابان (بخش دوم): اگر
\[ F \]پادمشتق
\[ f \]باشد (یعنی
\[ F' = f \])، آن گاه
\[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \].
انتگرال ریمان پایه ای برای حسابان کلاسیک است و در فیزیک، مهندسی و علوم کاربرد گسترده دارد. اما محدودیت هایی نیز دارد (مانند عدم انتگرال پذیری توابع با نوسانات شدید). این محدودیت ها منجر به توسعه انتگرال لبگ و سایر تعمیم ها شد.
در تحلیل ریاضی، مطالعه انتگرال ریمان درک عمیق تری از مفهوم همگرایی، پیوستگی و اندازه به دست می دهد.
