انتگرال به روش جمع های ریمان (Riemann Sums)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال به روش جمع های ریمان (Riemann Sums) :
جمع های ریمان مبنای تعریف انتگرال معین هستند. ایده این است که ناحیه زیر منحنی را به مستطیل های باریک تقسیم کرده و مساحت آن ها را جمع می زنیم. با افزایش تعداد مستطیل ها (یا به عبارت دیگر، با ظریف تر کردن تقسیم بندی)، این جمع به مساحت واقعی (انتگرال) میل می کند.
برای یک تابع
\[ f \]تعریف شده روی بازه
\[ [a,b] \]، بازه را به
\[ n \]زیربازه مساوی به طول
\[ \Delta x = \frac{b-a}{n} \]تقسیم می کنیم. نقاط تقسیم عبارتند از
\[ x_0 = a, x_1, x_2, ..., x_n = b \]. در هر زیربازه
\[ [x_{i-1}, x_i] \]، یک نقطه دلخواه
\[ x_i^* \]انتخاب می کنیم. جمع ریمان به صورت زیر تعریف می شود:
\[ \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x \]انواع مختلف جمع ریمان بسته به انتخاب
\[ x_i^* \]:
۱. جمع چپ:
\[ x_i^* = x_{i-1} \](نقطه چپ زیربازه).
۲. جمع راست:
\[ x_i^* = x_i \](نقطه راست زیربازه).
۳. جمع میانی:
\[ x_i^* = \frac{x_{i-1}+x_i}{2} \](نقطه میانی).
۴. جمع بالا (بالایی):
\[ x_i^* \]جایی است که
\[ f \]بیشترین مقدار را در زیربازه دارد.
۵. جمع پایین (پایینی):
\[ x_i^* \]جایی است که
\[ f \]کمترین مقدار را دارد.
اگر حد این جمع ها وقتی
\[ n \to \infty \](و طول بزرگترین زیربازه به صفر میل کند) وجود داشته باشد و مستقل از انتخاب نقاط
\[ x_i^* \]باشد، آن حد را انتگرال معین ریمان
\[ f \]روی
\[ [a,b] \]می نامیم و با
\[ \int_a^b f(x) dx \]نشان می دهیم.
جمع های ریمان برای توابع پیوسته و بسیاری از توابع ناپیوسته (با ناپیوستگی های محدود) همگرا هستند.
در کاربردهای عددی، از جمع های ریمان برای تقریب انتگرال ها استفاده می شود. روش مستطیلی (یا روش نقطه چپ/راست/میانی) ساده ترین روش انتگرال گیری عددی است.
مثال: محاسبه
\[ \int_0^1 x^2 dx \]با جمع ریمان راست:
\[ \Delta x = \frac{1}{n} \]،
\[ x_i = \frac{i}{n} \]،
\[ f(x_i) = (\frac{i}{n})^2 \]، جمع برابر
\[ \sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]. حد این عبارت وقتی
\[ n\to\infty \]برابر
\[ \frac{1}{3} \]است که با
\[ \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \]مطابقت دارد.
جمع های ریمان پایه ای برای درک مفاهیم انتگرال، مساحت، حجم و کاربردهای آن هستند.
