انتگرال به روش دیفرانسیل گیری (Differentiation Under the Integral Sign) (روش فاینمن)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال به روش دیفرانسیل گیری (Differentiation Under the Integral Sign) (روش فاینمن) :
این روش که به نام ریچارد فاینمن فیزیکدان معروف نیز شناخته می شود، تکنیکی قدرتمند برای محاسبه انتگرال های معین (به ویژه انتگرال های ناسره) است. ایده اصلی این است که با معرفی یک پارامتر جدید و مشتق گیری نسبت به آن، انتگرال را به یک معادله دیفرانسیل تبدیل کنیم یا آن را ساده تر کنیم.
فرض کنید می خواهیم انتگرال
\[ I(a) = \int_{x_1}^{x_2} f(x,a) dx \]را محاسبه کنیم. گاهی محاسبه
\[ \frac{dI}{da} \]آسان تر است. اگر بتوانیم
\[ \frac{dI}{da} \]را پیدا کنیم، سپس با انتگرال گیری نسبت به
\[ a \]،
\[ I(a) \]را به دست می آوریم.
شرط لازم برای این کار این است که بتوانیم علامت مشتق و انتگرال را جابجا کنیم:
\[ \frac{d}{da} \int f(x,a) dx = \int \frac{\partial f}{\partial a} dx \]، که تحت شرایط خاصی (مانند همگرایی یکنواخت) مجاز است.
\[ \frac{d}{da} \int_{x_1(a)}^{x_2(a)} f(x,a) dx = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial a} dx + f(x_2,a) \frac{dx_2}{da} - f(x_1,a) \frac{dx_1}{da} \]مثال کلاسیک: محاسبه
\[ \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} \]. این انتگرال را با روش فاینمن می توان محاسبه کرد. تعریف می کنیم
\[ I(a) = \int_0^\infty e^{-ax} \frac{\sin x}{x} dx \]برای
\[ a \ge 0 \]. مشتق نسبت به
\[ a \]:
\[ I'(a) = -\int_0^\infty e^{-ax} \sin x dx = -\frac{1}{a^2+1} \]. انتگرال گیری از
\[ I'(a) \]:
\[ I(a) = -\arctan a + C \]. با
\[ a \to \infty \]،
\[ I(\infty)=0 \]، پس
\[ C = \frac{\pi}{2} \]. بنابراین
\[ I(0) = \frac{\pi}{2} \].
مثال دیگر:
\[ \int_0^\infty \frac{1 - e^{-ax}}{x} dx \]برای
\[ a>0 \]. با مشتق گیری نسبت به
\[ a \]،
\[ \frac{d}{da} \int_0^\infty \frac{1 - e^{-ax}}{x} dx = \int_0^\infty e^{-ax} dx = \frac{1}{a} \]. پس انتگرال اصلی برابر
\[ \ln a + C \]است. با
\[ a=1 \]و معلوم بودن مقدار (مثلا صفر) می توان
\[ C \]را یافت.
روش فاینمن در فیزیک به ویژه در محاسبه انتگرال های مسیر در مکانیک کوانتومی و الکترودینامیک کوانتومی کاربرد دارد. فاینمن خود از این روش برای حل مسائل دشوار استفاده می کرد.
این روش برای انتگرال هایی که به نظر غیرقابل حل می رسند، بسیار مؤثر است، اما نیاز به خلاقیت در انتخاب پارامتر مناسب دارد.
در ریاضیات، این روش با نام "انتگرال گیری با پارامتر" نیز شناخته می شود.
