انتگرال به روش جدول (Tabular Integration)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال به روش جدول (Tabular Integration) :
روش جدول (یا انتگرال گیری جدولی) یک تکنیک برای ساده سازی انتگرال گیری جزء به جزء مکرر است. این روش زمانی به کار می رود که یکی از توابع (
\[ u \]) با مشتق گیری های مکرر به صفر برسد (مانند چندجمله ای ها) و تابع دیگر (
\[ dv \]) با انتگرال گیری مکرر ساده باشد (مانند نمایی یا مثلثاتی).
در این روش، یک جدول دو ستونی تشکیل می دهیم: در ستون اول مشتقات متوالی
\[ u \]را می نویسیم (تا جایی که به صفر برسیم) و در ستون دوم انتگرال های متوالی
\[ dv \]را می نویسیم. سپس با علامت های متناوب + و -، حاصلضرب های مورب را جمع می زنیم.
\begin{array}{c|c} \text{مشتقات } u & \text{انتگرال های } dv \\ \hline u & dv \\ u' & \int dv \\ u'' & \int^2 dv \\ u''' & \int^3 dv \\ \vdots & \vdots \end{array}
علامت ها به صورت +، -، +، -، ... برای جملات متوالی است. پاسخ برابر است با:
\[ u \int dv - u' \int^2 dv + u'' \int^3 dv - \dots \].
مثال:
\[ \int x^3 e^x dx \]. ستون اول:
\[ x^3 \],
\[ 3x^2 \],
\[ 6x \],
\[ 6 \],
\[ 0 \]. ستون دوم:
\[ e^x \],
\[ e^x \],
\[ e^x \],
\[ e^x \],
\[ e^x \]. حالا جملات مورب:
\[ x^3 e^x \](با علامت +)،
\[ 3x^2 e^x \](با علامت -)،
\[ 6x e^x \](با علامت +)،
\[ 6 e^x \](با علامت -)، و جمله بعدی صفر است. پس جواب:
\[ x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6 e^x + C \].
مثال دیگر:
\[ \int x^2 \sin x dx \]. مشتقات
\[ x^2 \]:
\[ x^2 \],
\[ 2x \],
\[ 2 \],
\[ 0 \]. انتگرال های
\[ \sin x \]:
\[ \sin x \],
\[ -\cos x \],
\[ -\sin x \],
\[ \cos x \]. جملات:
\[ x^2 (-\cos x) - 2x (-\sin x) + 2 (\cos x) = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C \].
روش جدول برای انتگرال هایی که شامل حاصلضرب یک چندجمله ای و یک تابع نمایی یا مثلثاتی هستند بسیار کارآمد است و از نوشتن جزء به جزء مکرر جلوگیری می کند.
این روش همچنین برای انتگرال هایی که یکی از توابع با مشتق گیری مکرر به یک الگوی دوری می رسد (مثل
\[ e^{ax}\sin bx \]) نیز قابل استفاده است، اما باید دقت کرد که ممکن است جدول تا بینهایت ادامه یابد. در این موارد، از روش معادله ای استفاده می شود.
روش جدول در کتاب های حسابان پیشرفته و مسابقات ریاضی محبوبیت دارد و به دانشجویان کمک می کند تا سریع تر به جواب برسند.
