انتگرال به روش جایگزینی (Integration by Substitution)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال به روش جایگزینی (Integration by Substitution) :
این عنوان در واقع معادل فارسی همان روش تغییر متغیر (Item 23) است. اما گاهی در متون فارسی، "جایگزینی" و "تغییر متغیر" هر دو به کار می روند. در اینجا برای تکمیل فهرست، این مورد را نیز به عنوان یک روش مستقل (با تأکید بر واژه "جایگزینی") ذکر می کنیم.
روش جایگزینی بر این اصل استوار است که با انتخاب یک عبارت به عنوان متغیر جدید، انتگرال به شکل ساده تری تبدیل شود. این روش هم برای انتگرال های نامعین و هم معین کاربرد دارد.
در انتگرال های نامعین، پس از جایگزینی و محاسبه انتگرال بر حسب متغیر جدید، باید به متغیر اصلی بازگردیم. در انتگرال های معین، کران ها نیز بر حسب متغیر جدید تغییر می کنند.
\[ \int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du, \quad u = g(x) \]انتخاب مناسب
\[ u \]کلید موفقیت است. معمولا سعی می کنیم قسمتی از انتگرال که مشتق آن نیز در جای دیگری از انتگرال ظاهر شده است را به عنوان
\[ u \]انتخاب کنیم.
گاهی نیاز به تغییر متغیرهای چندگانه یا ترکیبی از روش ها داریم. مثلا در انتگرال
\[ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx \]، با
\[ u = \sqrt{x} \]،
\[ du = \frac{dx}{2\sqrt{x}} \]، انتگرال به
\[ 2\int e^u du \]تبدیل می شود.
روش جایگزینی در حل معادلات دیفرانسیل، محاسبه سری های توانی و بسیاری از مسائل ریاضی کاربرد دارد.
در فیزیک، برای تغییر متغیر از مختصات دکارتی به مختصات قطبی، استوانه ای یا کروی از این روش استفاده می شود (با در نظر گرفتن ژاکوبین).
در نظریه میدان های کوانتومی، انتگرال های مسیر (Path Integrals) با تغییر متغیرهای بسیار پیچیده همراه هستند.
در آمار، برای استاندارد کردن متغیرهای تصادفی (مثلا تبدیل
\[ Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \]) از این روش استفاده می شود.
تغییر متغیر یکی از اولین و مهم ترین تکنیک هایی است که در انتگرال گیری یاد گرفته می شود و پایه ای برای روش های پیشرفته تر است.
برای توابع مثلثاتی، تغییر متغیر
\[ t = \tan\frac{x}{2} \](تغییر وایرشتراس) می تواند هر انتگرال مثلثاتی را به انتگرال گویا تبدیل کند.
در انتگرال های دوگانه و سه گانه، تغییر متغیر با استفاده از ماتریس ژاکوبی انجام می شود که تعمیم طبیعی روش جایگزینی است.
