انتگرال به روش تفکیک کسرها (Integration by Partial Fractions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال به روش تفکیک کسرها (Integration by Partial Fractions) :
روش تفکیک کسرها برای انتگرال گیری از توابع گویا (کسری) که صورت و مخرج چندجمله ای هستند به کار می رود. ایده این است که کسر پیچیده را به جمع چند کسر ساده تر تبدیل کنیم که انتگرال گیری از آن ها آسان است.
مراحل کار:
۱. اگر درجه صورت بزرگتر یا مساوی درجه مخرج باشد، ابتدا تقسیم چندجمله ای انجام می دهیم تا به یک چندجمله ای و یک کسر حقیقی (درجه صورت کمتر از مخرج) برسیم.
۲. مخرج کسر حقیقی را به عوامل اول تجزیه می کنیم. عوامل می توانند خطی (مانند
\[ x-a \]) یا درجه دوم غیرقابل تجزیه (مانند
\[ x^2+bx+c \]با ممیز منفی) باشند، و ممکن است تکراری باشند.
۳. بسته به نوع عوامل، کسر را به صورت مجموع کسرهای جزئی می نویسیم:
- برای هر عامل خطی ساده
\[ (x-a) \]:
\[ \frac{A}{x-a} \].
- برای هر عامل خطی تکراری
\[ (x-a)^k \]:
\[ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k} \].
- برای هر عامل درجه دوم ساده
\[ (x^2+bx+c) \]:
\[ \frac{Bx+C}{x^2+bx+c} \].
- برای هر عامل درجه دوم تکراری
\[ (x^2+bx+c)^m \]:
\[ \frac{B_1x+C_1}{x^2+bx+c} + \frac{B_2x+C_2}{(x^2+bx+c)^2} + \dots + \frac{B_mx+C_m}{(x^2+bx+c)^m} \].
\[ \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b} \] \[ \frac{P(x)}{(x-a)^2(x^2+bx+c)} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \frac{Bx+C}{x^2+bx+c} \]۴. ضرایب
\[ A, B, C, ... \]را با مساوی قرار دادن صورت کسر اصلی و صورت حاصل از مخرج مشترک گرفتن کسرهای جزئی و حل دستگاه معادلات به دست می آوریم.
۵. سپس انتگرال هر جمله را جداگانه محاسبه می کنیم.
مثال:
\[ \int \frac{2x+3}{x^2+3x+2} dx \]. مخرج
\[ (x+1)(x+2) \]است. تجزیه:
\[ \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} \]. با حل،
\[ A=1 \],
\[ B=1 \]می شود. پس
\[ \int (\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}) dx = \ln|x+1| + \ln|x+2| + C = \ln|(x+1)(x+2)| + C \].
مثال دیگر:
\[ \int \frac{dx}{x(x^2+1)} \]. تجزیه:
\[ \frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1} \]. با حل،
\[ A=1 \],
\[ B=-1 \],
\[ C=0 \]می شود. پس
\[ \int (\frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}) dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C \].
انتگرال های حاصل از عوامل درجه دوم گاهی به آرک تانژانت منجر می شوند، مانند
\[ \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C \].
این روش در محاسبه تبدیل لاپلاس معکوس، حل معادلات دیفرانسیل و تحلیل مدارهای الکتریکی کاربرد فراوان دارد.
در سیستم های کنترل، برای یافتن پاسخ ضربه از تفکیک کسرها استفاده می شود.
در نظریه احتمال، تابع چگالی برخی توزیع ها مانند توزیع کوشی به صورت کسری است.
