انتگرال به روش تغییر متغیر مثلثاتی (Integration by Trigonometric Substitution)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال به روش تغییر متغیر مثلثاتی (Integration by Trigonometric Substitution) :
تغییر متغیر مثلثاتی یک تکنیک قدرتمند برای انتگرال گیری از توابعی است که شامل عبارات جبری مانند
\[ \sqrt{a^2 - x^2} \]،
\[ \sqrt{a^2 + x^2} \]و
\[ \sqrt{x^2 - a^2} \]هستند. با استفاده از اتحادهای مثلثاتی، رادیکال ها حذف شده و انتگرال به انتگرال مثلثاتی ساده تری تبدیل می شود.
سه حالت اصلی:
۱. برای
\[ \sqrt{a^2 - x^2} \]، از تغییر
\[ x = a \sin\theta \](یا
\[ x = a \cos\theta \]) استفاده می شود. در این حالت
\[ dx = a \cos\theta d\theta \]و
\[ \sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2\theta} = a \cos\theta \].
۲. برای
\[ \sqrt{a^2 + x^2} \]، از تغییر
\[ x = a \tan\theta \](یا
\[ x = a \sinh t \]) استفاده می شود. در این حالت
\[ dx = a \sec^2\theta d\theta \]و
\[ \sqrt{a^2 + x^2} = \sqrt{a^2 + a^2 \tan^2\theta} = a \sec\theta \].
۳. برای
\[ \sqrt{x^2 - a^2} \]، از تغییر
\[ x = a \sec\theta \](یا
\[ x = a \cosh t \]) استفاده می شود. در این حالت
\[ dx = a \sec\theta \tan\theta d\theta \]و
\[ \sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{a^2 \sec^2\theta - a^2} = a \tan\theta \].
\[ \sqrt{a^2 - x^2} \rightarrow x = a\sin\theta \] \[ \sqrt{a^2 + x^2} \rightarrow x = a\tan\theta \] \[ \sqrt{x^2 - a^2} \rightarrow x = a\sec\theta \]پس از تغییر متغیر و ساده سازی، انتگرال بر حسب
\[ \theta \]به دست می آید که معمولا با روش های استاندارد مثلثاتی قابل محاسبه است. در نهایت باید به متغیر اصلی
\[ x \]بازگردیم (اغلب با استفاده از مثلث قائم الزاویه).
مثال:
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \]. با
\[ x = a \sin\theta \]،
\[ dx = a \cos\theta d\theta \]،
\[ \sqrt{a^2 - x^2} = a \cos\theta \]، پس
\[ \int \frac{a \cos\theta d\theta}{a \cos\theta} = \int d\theta = \theta + C = \arcsin\frac{x}{a} + C \].
مثال:
\[ \int \sqrt{a^2 + x^2} dx \]. با
\[ x = a \tan\theta \]،
\[ dx = a \sec^2\theta d\theta \]،
\[ \sqrt{a^2 + x^2} = a \sec\theta \]، پس
\[ \int a \sec\theta \cdot a \sec^2\theta d\theta = a^2 \int \sec^3\theta d\theta \]. این انتگرال با جزء به جزء محاسبه می شود.
مثال:
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} \]. با
\[ x = a \sec\theta \]،
\[ dx = a \sec\theta \tan\theta d\theta \]،
\[ \sqrt{x^2 - a^2} = a \tan\theta \]، پس
\[ \int \frac{a \sec\theta \tan\theta d\theta}{a \tan\theta} = \int \sec\theta d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C = \ln|\frac{x}{a} + \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a}| + C \].
در مواردی که عبارت زیر رادیکال به صورت کلی تر
\[ ax^2+bx+c \]باشد، ابتدا با تکمیل مربع آن را به یکی از سه فرم استاندارد تبدیل می کنیم.
تغییر متغیر مثلثاتی در فیزیک برای محاسبه طول قوس، مساحت سطوح چرخشی و پتانسیل میدان ها کاربرد دارد.
برای مثال، محاسبه طول قوس دایره با انتگرال
\[ \int \sqrt{1 - (x/R)^2} dx \]از تغییر
\[ x = R\sin\theta \]استفاده می کند.
در مکانیک، برای محاسبه ممان اینرسی اجسام با تقارن کروی یا استوانه ای از این روش استفاده می شود.
تغییر متغیر مثلثاتی یک ابزار ضروری در جعبه ابزار هر ریاضیدان و مهندس است.
