انتگرال به روش تغییر متغیر (Integration by Substitution)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال به روش تغییر متغیر (Integration by Substitution) :
روش تغییر متغیر (یا جایگزینی) معادل قاعده زنجیری در مشتق گیری است. این روش برای ساده سازی انتگرال ها با معرفی یک متغیر جدید به کار می رود.
فرض کنید می خواهیم
\[ \int f(g(x)) g'(x) dx \]را محاسبه کنیم. با قرار دادن
\[ u = g(x) \]، آن گاه
\[ du = g'(x) dx \]و انتگرال به
\[ \int f(u) du \]تبدیل می شود.
\[ \int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du, \quad u = g(x) \]برای انتگرال معین، باید کران ها نیز بر حسب
\[ u \]تغییر کنند:
\[ \int_{x=a}^{b} f(g(x)) g'(x) dx = \int_{u=g(a)}^{g(b)} f(u) du \].
این روش در موارد زیر بسیار مفید است:
۱. هنگامی که تابع داخلی
\[ g(x) \]و مشتق آن
\[ g'(x) \]در انتگرال ظاهر شده اند.
۲. برای ساده سازی رادیکال ها و توابع کسری.
۳. برای تبدیل انتگرال های مثلثاتی به انتگرال های گویا (با تغییر متغیر
\[ t = \tan\frac{x}{2} \]).
۴. برای انتگرال های شامل
\[ e^x \]با تغییر
\[ u = e^x \].
مثال ساده:
\[ \int 2x \cos(x^2) dx \]. قرار می دهیم
\[ u = x^2 \]،
\[ du = 2x dx \]، پس انتگرال برابر
\[ \int \cos u du = \sin u + C = \sin(x^2) + C \].
مثال دیگر:
\[ \int \frac{1}{x \ln x} dx \]برای
\[ x > 1 \]. قرار می دهیم
\[ u = \ln x \]،
\[ du = \frac{dx}{x} \]، پس
\[ \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln|\ln x| + C \].
در تغییر متغیر معین، فراموش نکنید که کران ها را تغییر دهید. مثلا
\[ \int_0^2 x e^{x^2} dx \]:
\[ u = x^2 \]،
\[ du = 2x dx \]، وقتی
\[ x=0 \]،
\[ u=0 \]و وقتی
\[ x=2 \]،
\[ u=4 \]، پس
\[ \int_0^2 x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^4 e^u du = \frac{1}{2}(e^4 - 1) \].
گاهی تغییر متغیر به صورت معکوس انجام می شود: برای انتگرال هایی مانند
\[ \int \sqrt{1-x^2} dx \]، از
\[ x = \sin\theta \]استفاده می شود که در بخش تغییر متغیر مثلثاتی توضیح داده خواهد شد.
تغییر متغیر در انتگرال های چندگانه (دوگانه و سه گانه) با استفاده از ژاکوبین انجام می شود که تعمیم این روش است.
در فیزیک، تغییر متغیر برای تبدیل مختصات (مثلا دکارتی به قطبی) و ساده سازی انتگرال ها کاربرد فراوان دارد.
در آمار، برای محاسبه توزیع متغیرهای تصادفی تبدیل یافته از این روش استفاده می شود.
انتخاب تغییر متغیر مناسب نیاز به تجربه و تمرین دارد. گاهی باید چند تغییر متغیر پشت سر هم انجام داد.
در حل معادلات دیفرانسیل، روش تغییر متغیر برای کاهش مرتبه یا ساده سازی معادله به کار می رود.
