انتگرال جزء به جزء (Integration by Parts)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال جزء به جزء (Integration by Parts) :
انتگرال گیری جزء به جزء یکی از قدرتمندترین روش های انتگرال گیری است که از قاعده مشتق حاصلضرب مشتق گرفته شده است. اگر
\[ u \]و
\[ v \]توابعی از
\[ x \]باشند، داریم:
\[ \frac{d}{dx}(u v) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \]با انتگرال گیری از دو طرف و بازآرایی، فرمول جزء به جزء به دست می آید:
\[ \int u \, dv = u v - \int v \, du \]در این فرمول،
\[ u \]و
\[ dv \]باید به گونه ای انتخاب شوند که انتگرال
\[ \int v \, du \]ساده تر از انتگرال اصلی باشد. معمولا
\[ u \]را تابعی انتخاب می کنند که با مشتق گیری ساده تر شود (مانند چندجمله ای ها، لگاریتم ها) و
\[ dv \]را تابعی که انتگرال گیری از آن ساده باشد (مانند توابع نمایی، مثلثاتی).
کاربردهای متداول جزء به جزء:
۱. انتگرال های شامل حاصلضرب چندجمله ای و نمایی:
\[ \int x e^{kx} dx \]، با
\[ u = x \]،
\[ dv = e^{kx} dx \].
۲. انتگرال های شامل حاصلضرب چندجمله ای و مثلثاتی:
\[ \int x \sin x dx \]، با
\[ u = x \]،
\[ dv = \sin x dx \].
۳. انتگرال های شامل لگاریتم:
\[ \int \ln x dx \]، با
\[ u = \ln x \]،
\[ dv = dx \].
۴. انتگرال های شامل توابع مثلثاتی معکوس:
\[ \int \arcsin x dx \]، با
\[ u = \arcsin x \]،
\[ dv = dx \].
۵. انتگرال هایی که پس از دو بار جزء به جزء، به انتگرال اصلی بازمی گردند، مانند
\[ \int e^{ax} \sin bx dx \]و
\[ \int e^{ax} \cos bx dx \].
مثال:
\[ \int x e^x dx \]را محاسبه کنید. قرار می دهیم
\[ u = x \]،
\[ dv = e^x dx \]، پس
\[ du = dx \]،
\[ v = e^x \]. طبق فرمول:
\[ \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C \].
مثال دیگر:
\[ \int \ln x dx \].
\[ u = \ln x \]،
\[ dv = dx \]،
\[ du = \frac{1}{x} dx \]،
\[ v = x \]، بنابراین
\[ \int \ln x dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C \].
گاهی لازم است جزء به جزء را چندین بار تکرار کنیم. برای مثال
\[ \int x^2 e^x dx \]: بار اول
\[ u = x^2 \],
\[ dv = e^x dx \]می دهد
\[ x^2 e^x - \int 2x e^x dx \]. سپس
\[ \int x e^x dx \]را با جزء به جزء دیگر حساب می کنیم.
برای انتگرال های معین، فرمول جزء به جزء به صورت
\[ \int_a^b u dv = [u v]_a^b - \int_a^b v du \]است.
انتخاب مناسب
\[ u \]و
\[ dv \]کلید موفقیت در این روش است. یک قاعده سرانگشتی، اولویت بندی بر اساس ترتیب "LIATE" است: Logarithmic (لگاریتمی)، Inverse trigonometric (مثلثاتی معکوس)، Algebraic (جبری)، Trigonometric (مثلثاتی)، Exponential (نمایی). بر اساس این قاعده، توابع بالاتر در لیست برای
\[ u \]انتخاب می شوند.
جزء به جزء در حل معادلات دیفرانسیل، تبدیل لاپلاس، محاسبه سری فوریه و بسیاری از شاخه های ریاضیات و فیزیک کاربرد دارد.
در مکانیک کوانتومی، برای محاسبه انتگرال های مربوط به توابع موج و عملگرها از این روش استفاده می شود.
در نظریه احتمال، برای محاسبه گشتاورها (مثلا
\[ \int x f(x) dx \]) از جزء به جزء استفاده می گردد.
