انتگرال توابع ثابت (Integral of Constant Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع ثابت (Integral of Constant Functions) :
ساده ترین نوع توابع، توابع ثابت هستند. تابع ثابت تابعی است که به ازای همه مقادیر ورودی، یک مقدار خروجی ثابت دارد. مثلا
\[ f(x) = c \]که در آن
\[ c \]یک عدد حقیقی ثابت است.
انتگرال نامعین یک تابع ثابت به صورت
\[ \int c \, dx = c x + C \]محاسبه می شود. دلیل آن این است که مشتق
\[ c x \]برابر
\[ c \]است و ثابت
\[ C \]به دلیل مشتق صفر اضافه می شود.
انتگرال معین یک تابع ثابت روی بازه
\[ [a, b] \]به صورت
\[ \int_a^b c \, dx = c (b - a) \]است. این مقدار برابر مساحت یک مستطیل به ارتفاع
\[ c \]و عرض
\[ b-a \]می باشد.
\[ \int k \, dx = kx + C \] \[ \int_a^b k \, dx = k(b-a) \]اگر
\[ c \]مثبت باشد، انتگرال معین مساحت زیر خط افقی
\[ y=c \]از
\[ x=a \]تا
\[ x=b \]را نشان می دهد. اگر
\[ c \]منفی باشد، انتگرال منفی است و مساحت بالای خط را نشان می دهد (با علامت منفی).
توابع ثابت در فیزیک برای مدل سازی کمیت های یکنواخت مانند چگالی ثابت، میدان یکنواخت، سرعت ثابت و ... به کار می روند.
مثال: اگر چگالی یک میله به طول
\[ L \]ثابت و برابر
\[ \rho \]باشد، جرم آن برابر
\[ \int_0^L \rho \, dx = \rho L \]است.
اگر نیروی ثابت
\[ F \]در راستای جابجایی
\[ d \]اثر کند، کار انجام شده برابر
\[ \int_0^d F \, dx = F d \]است.
انتگرال توابع ثابت در محاسبه حجم اجسام با مقطع ثابت نیز کاربرد دارد. مثلا حجم یک استوانه به ارتفاع
\[ h \]و مساحت قاعده
\[ A \]برابر
\[ \int_0^h A \, dz = A h \]است.
در مسائل احتمال، اگر یک متغیر تصادفی دارای توزیع یکنواخت در بازه
\[ [a,b] \]باشد، تابع چگالی احتمال آن ثابت و برابر
\[ \frac{1}{b-a} \]است. انتگرال این تابع روی کل بازه برابر 1 است:
\[ \int_a^b \frac{1}{b-a} dx = 1 \].
انتگرال توابع ثابت ساده ترین مثال برای درک مفهوم انتگرال گیری است. همچنین در اثبات قضایایی مانند قضیه مقدار میانگین برای انتگرال ها نقش دارد: اگر
\[ f \]بر
\[ [a,b] \]پیوسته باشد، عددی مانند
\[ c \]وجود دارد که
\[ \int_a^b f(x) dx = f(c) (b-a) \].
در ریاضیات گسسته، جمع یک دنباله ثابت
\[ a_i = c \]برای
\[ i=1 \]تا
\[ n \]برابر
\[ n c \]است که مشابه انتگرال در حالت پیوسته است.
در تحلیل عددی، ساده ترین روش انتگرال گیری عددی (روش مستطیلی) بر اساس تقریب تابع با یک مقدار ثابت در هر زیربازه است.
انتگرال توابع ثابت روی بازه های نامتناهی:
\[ \int_a^\infty c \, dx \]واگرا است (مگر
\[ c=0 \]) زیرا به بینهایت میل می کند.
انتگرال توابع ثابت پایه ای برای انتگرال گیری از توابع پیچیده تر است و خاصیت خطی انتگرال بر اساس آن تعریف می شود.
