انتگرال توابع چندجمله ای (Integral of Polynomial Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال توابع چندجمله ای (Integral of Polynomial Functions) :

توابع چندجمله ای (Polynomial Functions) به صورت

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]

هستند. انتگرال گیری از آن ها بسیار ساده است و با انتگرال گیری جمله به جمله انجام می شود.

فرمول:

\[ \int P(x) dx = a_n \frac{x^{n+1}}{n+1} + a_{n-1} \frac{x^{n}}{n} + \dots + a_1 \frac{x^2}{2} + a_0 x + C \]

.

به عبارت دیگر، از خاصیت خطی انتگرال استفاده می کنیم:

\[ \int \sum_{k=0}^n a_k x^k dx = \sum_{k=0}^n a_k \int x^k dx \]

.

\[ \int (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0) dx = \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + \frac{a_{n-1}}{n} x^{n} + \dots + a_0 x + C \]

مثال:

\[ \int (3x^2 - 4x + 5) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - 2x^2 + 5x + C \]

.

انتگرال معین چندجمله ای روی بازه

\[ [a,b] \]

:

\[ \int_a^b P(x) dx = [\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1} x^{k+1}]_a^b \]

.

انتگرال چندجمله ای همیشه یک چندجمله ای با درجه ای یک واحد بیشتر است (مگر اینکه چندجمله ای صفر باشد). بنابراین نتیجه انتگرال نامعین یک چندجمله ای نیز چندجمله ای است.

چندجمله ای ها در تقریب سازی توابع (سری تیلور)، درونیابی و مدل سازی داده ها کاربرد دارند. انتگرال آن ها برای محاسبه مساحت زیر منحنی تقریبی به کار می رود.

در فیزیک، اگر شتاب یک ذره به صورت چندجمله ای از زمان باشد، مکان آن با انتگرال گیری از سرعت (که خود انتگرال شتاب است) به دست می آید که نتیجه یک چندجمله ای از درجه بالاتر است.

برای مثال، اگر

\[ a(t) = 6t \]

، آن گاه

\[ v(t) = \int 6t dt = 3t^2 + v_0 \]

، و

\[ s(t) = \int (3t^2+v_0) dt = t^3 + v_0 t + s_0 \]

.

انتگرال چندجمله ای در روش های عددی مانند انتگرال گیری سیمپسون که بر مبنای درونیابی چندجمله ای است، نقش اساسی دارد.

چندجمله ای های متعامد مانند لژاندر، چبیشف، لگر و هرمیت در انتگرال گیری عددی و حل معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی کاربرد دارند.

انتگرال چندجمله ای روی بازه های متقارن، اگر چندجمله ای فرد باشد صفر و اگر زوج باشد دو برابر انتگرال روی نیم بازه است.

مثال:

\[ \int_{-a}^a (x^3 + x) dx = 0 \]

چون فرد است.

انتگرال چندجمله ای با تغییر متغیر خطی:

\[ \int (ax+b)^n dx \]

که اگر

\[ n \neq -1 \]

،

\[ \frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} \]

و اگر

\[ n=-1 \]

،

\[ \frac{1}{a}\ln|ax+b| \]

می شود.

در جبر خطی، فضای چندجمله ای ها یک فضای برداری است و انتگرال یک عملگر خطی روی این فضا است.

انتگرال چندجمله ای ها در محاسبه گشتاورهای توزیع های احتمال (مثل میانگین، واریانس) ظاهر می شود.

برای چندجمله ای های با درجه بالا، انتگرال گیری دستی ساده است اما ممکن است محاسبات عددی طولانی شود.

در روش اجزاء محدود (FEM)، از توابع پایه چندجمله ای برای تقریب جواب استفاده می شود و ماتریس سختی با انتگرال گیری از حاصلضرب این توابع و مشتقات آن ها تشکیل می شود.

انتگرال چندجمله ای در حسابان پایه ای ترین عملگر پس از مشتق گیری است.