انتگرال توابع توانی (Integral of Power Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع توانی (Integral of Power Functions) :
توابع توانی به صورت
\[ x^n \](با
\[ n \]ثابت) هستند. انتگرال گیری از آن ها ساده ترین نوع انتگرال هاست.
فرمول پایه: برای
\[ n \neq -1 \]،
\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \].
برای
\[ n = -1 \]،
\[ \int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \].
\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \] \[ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \]این فرمول برای همه
\[ n \]های حقیقی به جز
\[ -1 \]معتبر است. حتی برای
\[ n \]های کسری و منفی نیز صادق است (البته باید دقت به دامنه تابع کرد).
برای
\[ n \]های گویا مانند
\[ n = \frac{p}{q} \]، تابع
\[ x^{p/q} \]به صورت رادیکال
\[ \sqrt[q]{x^p} \]تعریف می شود و انتگرال آن با همان فرمول توانی محاسبه می شود:
\[ \int x^{p/q} dx = \frac{x^{p/q+1}}{p/q+1} + C \].
مثال:
\[ \int \sqrt{x} dx = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \].
مثال:
\[ \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} + C \].
انتگرال توابع توانی روی بازه های معین، مساحت زیر منحنی های
\[ y=x^n \]را می دهد. برای مثال،
\[ \int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1} \].
اگر
\[ n < -1 \]، انتگرال ناسره
\[ \int_1^\infty x^n dx \]همگرا است (چون
\[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \]در بینهایت به صفر میل می کند). اگر
\[ n > -1 \]،
\[ \int_0^1 x^n dx \]همگرا است.
انتگرال توابع توانی با تغییر متغیرهای خطی:
\[ \int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C \](برای
\[ n \neq -1 \]). برای
\[ n=-1 \]،
\[ \int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C \].
توابع توانی در قوانین فیزیک مانند قانون جهانی گرانش (
\[ F \propto r^{-2} \]) ظاهر می شوند و انتگرال آن ها برای محاسبه کار یا پتانسیل به کار می رود.
در اقتصاد، تابع مطلوبیت اغلب به صورت توانی (
\[ U(x) = x^\alpha \]) مدل می شود.
انتگرال توابع توانی با ترکیب با سایر توابع، پایه ای برای انتگرال گیری به روش جزء به جزء است.
در آمار، تابع چگالی توزیع پارتو
\[ f(x) = \frac{\alpha x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}} \]شامل توان منفی است.
