انتگرال توابع لگاریتمی (Integral of Logarithmic Functions)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :

انتگرال توابع لگاریتمی (Integral of Logarithmic Functions) :

توابع لگاریتمی شامل

\[ \ln x \]

(لگاریتم طبیعی) و

\[ \log_a x \]

هستند. انتگرال گیری از این توابع معمولا با روش جزء به جزء انجام می شود.

فرمول پایه:

\[ \int \ln x dx = x \ln x - x + C \]

. این نتیجه با جزء به جزء با

\[ u = \ln x \]

،

\[ dv = dx \]

به دست می آید.

برای توان های بالاتر

\[ \ln^n x \]

، از فرمول بازگشتی

\[ \int (\ln x)^n dx = x (\ln x)^n - n \int (\ln x)^{n-1} dx \]

استفاده می شود.

\[ \int \ln x dx = x \ln x - x + C \] \[ \int \log_a x dx = x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C \]

برای

\[ \log_a x \]

با تغییر پایه:

\[ \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \]

، بنابراین

\[ \int \log_a x dx = \frac{1}{\ln a} \int \ln x dx = \frac{x \ln x - x}{\ln a} + C \]

.

انتگرال های شامل ترکیب لگاریتم با چندجمله ای، مانند

\[ \int x^n \ln x dx \]

، با جزء به جزء و انتخاب

\[ u = \ln x \]

محاسبه می شوند:

\[ \int x^n \ln x dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C \]

(برای

\[ n \neq -1 \]

).

برای

\[ n = -1 \]

،

\[ \int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2} (\ln x)^2 + C \]

.

انتگرال های لگاریتمی در فیزیک آماری، ترمودینامیک (آنتروپی) و نظریه اطلاعات کاربرد دارند. آنتروپی شانون

\[ -\sum p_i \ln p_i \]

یک جمع گسسته است، اما در حالت پیوسته به انتگرال

\[ -\int f(x) \ln f(x) dx \]

تبدیل می شود.

در نظریه اعداد، تابع لگاریتم انتگرال

\[ \mathrm{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t} \]

برای تخمین تعداد اعداد اول به کار می رود.

انتگرال های لگاریتمی با توابع مثلثاتی و نمایی نیز ترکیب می شوند، مانند

\[ \int \ln(\sin x) dx \]

که به توابع ویژه (تابع Clausen) مربوط می شود.

برای محاسبه

\[ \int \ln(x^2+a^2) dx \]

، با جزء به جزء یا نوشتن

\[ \ln(x^2+a^2) = \ln(x+ia) + \ln(x-ia) \]

می توان اقدام کرد.

انتگرال های معین لگاریتمی مانند

\[ \int_0^1 \ln x dx = -1 \]

یا

\[ \int_0^1 \ln(1-x) dx = -1 \]

در مسائل احتمال و آمار ظاهر می شوند.

انتگرال دیریکله شامل

\[ \frac{\sin x}{x} \]

نیز با لگاریتم در محاسبات خود مرتبط است.

در نظریه میدان های کوانتومی، انتگرال های لگاریتمی در محاسبات نمودارهای فاینمن دیده می شوند.

برای انتگرال گیری عددی از توابع لگاریتمی، باید دقت کرد که در نزدیکی نقاط تکین (مثل

\[ x=0 \]

برای

\[ \ln x \]

) ممکن است نیاز به روش های خاص باشد.

انتگرال های لگاریتمی با تغییر متغیر

\[ x = e^t \]

گاهی به انتگرال های نمایی تبدیل می شوند.

مشتق توابع لگاریتمی به صورت

\[ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \]

است، بنابراین انتگرال های شامل

\[ \frac{1}{x} \]

به لگاریتم منجر می شوند.