انتگرال توابع نمایی (Integral of Exponential Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع نمایی (Integral of Exponential Functions) :
توابع نمایی به صورت
\[ a^x \](با پایه ثابت) و
\[ e^{kx} \](با پایه e) هستند. انتگرال گیری از این توابع بسیار ساده و پرکاربرد است.
فرمول های پایه:
\[ \int e^x dx = e^x + C \] \[ \int e^{kx} dx = \frac{1}{k} e^{kx} + C \](برای
\[ k \neq 0 \])
\[ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \](برای
\[ a>0 \],
\[ a \neq 1 \])
\[ \int x e^{kx} dx \]با جزء به جزء:
\[ \int x e^{kx} dx = \frac{1}{k} x e^{kx} - \frac{1}{k^2} e^{kx} + C \] \[ \int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + C \] \[ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \]انتگرال های شامل توابع نمایی در ترکیب با توابع مثلثاتی (مانند
\[ \int e^{ax} \sin bx dx \]) با استفاده از جزء به جزء دوبار یا فرمول های اویلر (
\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]) محاسبه می شوند. نتیجه به صورت
\[ \frac{e^{ax}(a \sin bx - b \cos bx)}{a^2+b^2} \]و مشابه برای کسینوس است.
انتگرال های شامل
\[ e^{ax} \]و چندجمله ای با جزء به جزء قابل محاسبه هستند. برای
\[ \int P(x) e^{ax} dx \]می توان از جزء به جزء مکرر استفاده کرد یا از فرمول
\[ \int P e^{ax} dx = e^{ax} \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{P^{(k)}(x)}{a^{k+1}} \]بهره برد.
انتگرال های نمایی در فیزیک، مهندسی برق، احتمال و آمار کاربرد فراوان دارند. مثلا در نظریه احتمال، تابع چگالی نرمال شامل
\[ e^{-x^2/2} \]است و انتگرال آن به تابع خطا مربوط می شود.
انتگرال
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \](انتگرال گاوسی) یکی از مهم ترین انتگرال های ناسره است.
برای انتگرال های نمایی با کران های نامتناهی، همگرایی بستگی به علامت
\[ k \]دارد: اگر
\[ k < 0 \]،
\[ \int_a^\infty e^{kx} dx \]همگرا است.
انتگرال های نمایی با تغییر متغیر
\[ u = e^x \]گاهی به انتگرال های گویا تبدیل می شوند.
مثال:
\[ \int \frac{e^x}{e^{2x}+1} dx = \int \frac{du}{u^2+1} \]با
\[ u = e^x \]که نتیجه
\[ \arctan(e^x) + C \]است.
در معادلات دیفرانسیل، پاسخ معادلات خطی با ضرایب ثابت شامل توابع نمایی است.
انتگرال های نمایی در محاسبه تبدیل لاپلاس و فوریه نقش اساسی دارند. تبدیل لاپلاس
\[ \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt \]و تبدیل فوریه
\[ \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x} dx \]هر دو شامل توابع نمایی مختلط هستند.
برای انتگرال گیری عددی از توابع نمایی، روش های تطبیقی با تغییر متغیرهای مناسب به کار می روند.
انتگرال های نمایی با توان های کسری (مثل
\[ e^{-x^{3/2}} \]) گاهی به توابع گاما مرتبط می شوند.
توابع نمایی پایه
\[ e^x \]در رشد و زوال (decay) مدل های ریاضی ظاهر می شوند.
