انتگرال توابع هیپربولیک معکوس (Integral of Inverse Hyperbolic Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع هیپربولیک معکوس (Integral of Inverse Hyperbolic Functions) :
توابع هیپربولیک معکوس شامل
\[ \text{arsinh } x \](آرک سینوس هیپربولیک)،
\[ \text{arcosh } x \]،
\[ \text{artanh } x \]،
\[ \text{arcoth } x \]،
\[ \text{arsech } x \]،
\[ \text{arcsch } x \]هستند. این توابع معکوس توابع هیپربولیک بوده و با لگاریتم ها نیز قابل بیان هستند.
فرمول های پایه برای انتگرال توابع هیپربولیک معکوس (که اغلب با جزء به جزء به دست می آیند):
\[ \int \text{arsinh } x dx = x \text{arsinh } x - \sqrt{1+x^2} + C \] \[ \int \text{arcosh } x dx = x \text{arcosh } x - \sqrt{x^2-1} + C \](برای
\[ x \ge 1 \])
\[ \int \text{artanh } x dx = x \text{artanh } x + \frac{1}{2}\ln(1-x^2) + C \](برای
\[ |x|<1 \])
\[ \int \text{arcoth } x dx = x \text{arcoth } x + \frac{1}{2}\ln(x^2-1) + C \](برای
\[ |x|>1 \])
\[ \int \text{arsech } x dx = x \text{arsech } x + \arcsin x + C \](برای
\[ 0 < x \le 1 \])
\[ \int \text{arcsch } x dx = x \text{arcsch } x + \text{arsinh } x + C \](برای
\[ x \neq 0 \])
\[ \int \text{arsinh } x dx = x \text{arsinh } x - \sqrt{1+x^2} + C \] \[ \int \text{artanh } x dx = x \text{artanh } x + \frac{1}{2}\ln(1-x^2) + C \]این فرمول ها را می توان با جزء به جزء اثبات کرد. برای
\[ \text{arsinh } x \]،
\[ u = \text{arsinh } x \]،
\[ dv = dx \]،
\[ du = \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} \]،
\[ v = x \]. سپس
\[ \int \text{arsinh } x dx = x \text{arsinh } x - \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} dx = x \text{arsinh } x - \sqrt{1+x^2} + C \].
برای
\[ \text{artanh } x \]،
\[ du = \frac{dx}{1-x^2} \]و
\[ \int \frac{x}{1-x^2} dx = -\frac{1}{2}\ln|1-x^2| \].
انتگرال توابع هیپربولیک معکوس در مسائلی که شامل طول قوس برخی منحنی ها مانند زنجیروار (catenary) هستند، ظاهر می شود. زنجیروار تابع
\[ \cosh x \]است و طول قوس آن با انتگرال
\[ \sqrt{1+\sinh^2 x} = \cosh x \]محاسبه می شود که به انتگرال توابع هیپربولیک ساده منجر می شود، اما در برخی موارد معکوس آن ها نیز ظاهر می شوند.
در فیزیک، برای محاسبه پتانسیل در مسائل الکترواستاتیک با هندسه خاص، ممکن است به انتگرال های شامل
\[ \text{arsinh} \]برسیم.
همچنین در نظریه نسبیت، رابطه بین سرعت و راپیدیتی (rapidity) از طریق توابع هیپربولیک معکوس بیان می شود.
برای انتگرال های شامل ترکیب توابع هیپربولیک معکوس با چندجمله ای ها، روش جزء به جزء با انتخاب تابع هیپربولیک معکوس به عنوان
\[ u \]مناسب است.
مثال:
\[ \int x \text{artanh } x dx \].
\[ u = \text{artanh } x \]،
\[ dv = x dx \]،
\[ du = \frac{dx}{1-x^2} \]،
\[ v = \frac{x^2}{2} \]. سپس
\[ \frac{x^2}{2}\text{artanh } x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1-x^2} dx = \frac{x^2}{2}\text{artanh } x + \frac{1}{2}\int (1 - \frac{1}{1-x^2}) dx = \frac{x^2}{2}\text{artanh } x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\ln|\frac{1+x}{1-x}| + C \].
انتگرال های معین از این توابع روی بازه های متقارن نیز با توجه به خاصیت فرد یا زوج بودن ساده می شوند.
\[ \text{arsinh } x \]فرد است، بنابراین انتگرال آن روی بازه متقارن صفر است.
در تحلیل عددی، این انتگرال ها با روش های استاندارد انتگرال گیری عددی محاسبه می شوند.
