انتگرال توابع هیپربولیک (هذلولوی) (Integral of Hyperbolic Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع هیپربولیک (هذلولوی) (Integral of Hyperbolic Functions) :
توابع هیپربولیک (هذلولوی) شامل
\[ \sinh x \]،
\[ \cosh x \]،
\[ \tanh x \]،
\[ \coth x \]،
\[ \text{sech } x \]،
\[ \text{csch } x \]هستند. این توابع شباهت زیادی به توابع مثلثاتی دارند، اما بر اساس توان های نمایی تعریف می شوند:
\[ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]،
\[ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]و غیره.
انتگرال های پایه:
\[ \int \sinh x dx = \cosh x + C \] \[ \int \cosh x dx = \sinh x + C \] \[ \int \tanh x dx = \ln(\cosh x) + C \](یا
\[ = \ln|\cosh x| + C \]چون
\[ \cosh x > 0 \])
\[ \int \coth x dx = \ln|\sinh x| + C \] \[ \int \text{sech } x dx = \arctan(\sinh x) + C \]یا
\[ \int \text{sech } x dx = 2\arctan(e^x) + C \] \[ \int \text{csch } x dx = \ln|\tanh\frac{x}{2}| + C \]یا
\[ \int \text{csch } x dx = -\ln|\text{csch } x + \coth x| + C \] \[ \int \sinh x dx = \cosh x + C, \quad \int \cosh x dx = \sinh x + C \] \[ \int \text{sech } x dx = \arctan(\sinh x) + C \]مشتقات توابع هیپربولیک نیز مشابه مثلثاتی هستند:
\[ \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \]،
\[ \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \]،
\[ \frac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x \]و غیره. بنابراین انتگرال ها نیز مشابه هستند.
برای توان های بالاتر
\[ \sinh^n x \]و
\[ \cosh^n x \]، روش هایی مشابه با توابع مثلثاتی وجود دارد. از اتحادهای
\[ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \]،
\[ \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \]استفاده می شود.
انتگرال توابع هیپربولیک در حل معادلات دیفرانسیل، فیزیک نسبیت، انتقال حرارت و برخی مسائل مهندسی کاربرد دارند.
برای انتگرال های شامل حاصلضرب
\[ \sinh^m x \cosh^n x \]، اگر یکی از توان ها فرد باشد، تغییر متغیر
\[ u \]برابر تابع با توان زوج مناسب است.
مثال:
\[ \int \sinh^3 x \cosh^2 x dx = \int \sinh^2 x \cosh^2 x \sinh x dx = \int (\cosh^2 x - 1) \cosh^2 x \sinh x dx \]. با
\[ u = \cosh x \]،
\[ du = \sinh x dx \]، انتگرال به
\[ \int (u^2 - 1) u^2 du \]تبدیل می شود.
انتگرال توابع هیپربولیک معکوس نیز با روش جزء به جزء یا با استفاده از ارتباط آن ها با لگاریتم ها محاسبه می شود.
برای مثال،
\[ \int \text{arsinh } x dx = x \text{arsinh } x - \sqrt{1+x^2} + C \].
انتگرال توابع هیپربولیک در هندسه دیفرانسیل برای محاسبه طول منحنی ها روی سطوح با انحنای منفی (هندسه لوباچفسکی) به کار می روند.
در نظریه نسبیت خاص، انرژی و تکانه ذرات با سرعت نزدیک به نور با توابع هیپربولیک بیان می شوند و انتگرال گیری از آن ها برای محاسبه کمیت های فیزیکی لازم است.
انتگرال های معین از توابع هیپربولیک روی بازه های نامتناهی گاهی همگرا هستند، مثلا
\[ \int_0^\infty \frac{\sinh ax}{\sinh bx} dx \]با شرایط خاص.
توابع هیپربولیک با نمایی ها ارتباط نزدیک دارند و بنابراین انتگرال آن ها اغلب به لگاریتم ها یا توابع نمایی منجر می شود.
