انتگرال توابع مثلثاتی معکوس (Integral of Inverse Trigonometric Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع مثلثاتی معکوس (Integral of Inverse Trigonometric Functions) :
توابع مثلثاتی معکوس شامل
\[ \arcsin x \]،
\[ \arccos x \]،
\[ \arctan x \]،
\[ \text{arccot } x \]،
\[ \text{arcsec } x \]،
\[ \text{arccsc } x \]هستند. انتگرال گیری از این توابع اغلب با روش جزء به جزء انجام می شود.
فرمول های پایه:
\[ \int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C \] \[ \int \arccos x dx = x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C \] \[ \int \arctan x dx = x \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C \] \[ \int \text{arccot } x dx = x \text{arccot } x + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C \] \[ \int \text{arcsec } x dx = x \text{arcsec } x - \ln|x + \sqrt{x^2-1}| + C \](برای
\[ x \ge 1 \])
\[ \int \text{arccsc } x dx = x \text{arccsc } x + \ln|x + \sqrt{x^2-1}| + C \] \[ \int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C \] \[ \int \arctan x dx = x \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C \]برای به دست آوردن این فرمول ها، کافی است
\[ u = \arcsin x \]و
\[ dv = dx \]قرار دهیم. سپس
\[ du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \]و
\[ v = x \]. با جزء به جزء:
\[ \int \arcsin x dx = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C \].
برای
\[ \arctan x \]نیز به طور مشابه عمل می شود:
\[ \int \arctan x dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx = x \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C \].
انتگرال توابع مثلثاتی معکوس معمولا در مسائلی ظاهر می شود که شامل زاویه های مجهول هستند، مانند محاسبه طول قوس منحنی ها یا مساحت برخی نواحی.
همچنین در فیزیک، برای محاسبه پتانسیل الکتریکی ناشی از توزیع های بار خطی یا حلقه ای، از این انتگرال ها استفاده می شود.
گاهی لازم است انتگرال هایی شامل ترکیب توابع مثلثاتی معکوس با توابع دیگر مانند چندجمله ای ها را محاسبه کنیم. در این موارد، جزء به جزء با انتخاب
\[ u \]به عنوان تابع مثلثاتی معکوس مناسب است.
مثال:
\[ \int x \arctan x dx \]. قرار می دهیم
\[ u = \arctan x \]،
\[ dv = x dx \]، سپس
\[ du = \frac{dx}{1+x^2} \]،
\[ v = \frac{x^2}{2} \]. با جزء به جزء:
\[ \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\arctan x + C \].
انتگرال های معین از توابع مثلثاتی معکوس روی بازه های متقارن گاهی با استفاده از خواص زوج یا فرد ساده می شوند.
برای مثال،
\[ \int_{-a}^a \arcsin x dx = 0 \]چون
\[ \arcsin x \]تابعی فرد است.
در آنالیز عددی، برای محاسبه انتگرال توابع مثلثاتی معکوس از روش های انتگرال گیری عددی مانند گاوس-لژاندر استفاده می شود.
توابع مثلثاتی معکوس در تعریف برخی توابع ویژه مانند تابع خطا (erf) نیز ظاهر می شوند.
در ریاضیات مالی، از توزیع های احتمال مانند توزیع کوشی که شامل
\[ \arctan \]است، استفاده می شود و انتگرال آن ها برای محاسبه ارزش در معرض خطر (VaR) به کار می رود.
انتگرال های توابع مثلثاتی معکوس با تغییر متغیرهای مثلثاتی نیز قابل محاسبه هستند، اما روش جزء به جزء مستقیم تر است.
