انتگرال توابع مثلثاتی (Integral of Trigonometric Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع مثلثاتی (Integral of Trigonometric Functions) :
انتگرال گیری از توابع مثلثاتی یکی از پرکاربردترین و مهم ترین مباحث در حسابان است. توابع مثلثاتی پایه شامل
\[ \sin x \]،
\[ \cos x \]،
\[ \tan x \]،
\[ \cot x \]،
\[ \sec x \]،
\[ \csc x \]هستند.
انتگرال های پایه:
\[ \int \sin x dx = -\cos x + C \]،
\[ \int \cos x dx = \sin x + C \]،
\[ \int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C \]،
\[ \int \cot x dx = \ln|\sin x| + C \]،
\[ \int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C \]،
\[ \int \csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C \].
\[ \int \sec^2 x dx = \tan x + C, \quad \int \csc^2 x dx = -\cot x + C \] \[ \int \sec x \tan x dx = \sec x + C, \quad \int \csc x \cot x dx = -\csc x + C \]برای انتگرال های شامل حاصلضرب توان های سینوس و کسینوس، روش های مختلفی وجود دارد. اگر یکی از توان ها فرد باشد، آن را جدا کرده و با تغییر متغیر
\[ u \]برابر تابع با توان زوج، انتگرال ساده می شود.
مثال:
\[ \int \sin^3 x \cos^2 x dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \sin x dx = \int (1-\cos^2 x) \cos^2 x \sin x dx \]. با
\[ u=\cos x \]،
\[ du = -\sin x dx \]، انتگرال به
\[ -\int (1-u^2) u^2 du \]تبدیل می شود.
اگر هر دو توان زوج باشند، از اتحادهای مثلثاتی
\[ \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} \]و
\[ \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} \]استفاده می شود.
برای انتگرال های شامل
\[ \tan^m x \sec^n x \]، اگر
\[ n \]زوج باشد، یک
\[ \sec^2 x \]جدا کرده و با
\[ u=\tan x \]بقیه را بر حسب
\[ u \]می نویسیم. اگر
\[ m \]فرد باشد، یک
\[ \sec x \tan x \]جدا کرده و
\[ u=\sec x \]قرار می دهیم.
انتگرال های مثلثاتی که شامل توابع با زوایای مختلف هستند، با استفاده از اتحادهای جمع به حاصلضرب یا برعکس ساده می شوند. مثلا
\[ \sin mx \sin nx = \frac{1}{2}[\cos(m-n)x - \cos(m+n)x] \].
برای انتگرال های شامل توابع معکوس مثلثاتی، معمولا از روش جزء به جزء استفاده می شود.
انتگرال های مثلثاتی در تحلیل فوریه، حل معادلات دیفرانسیل، فیزیک امواج و نوسانات کاربرد گسترده دارند.
گاهی انتگرال های مثلثاتی با تغییر متغیر
\[ t = \tan\frac{x}{2} \](تغییر متغیر وایرشتراس) به انتگرال های گویا تبدیل می شوند. این تغییر متغیر روابط زیر را دارد:
\[ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \]،
\[ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \]،
\[ dx = \frac{2}{1+t^2} dt \].
مثال:
\[ \int \frac{dx}{1+\sin x} \]با این تغییر متغیر ساده می شود.
انتگرال های مثلثاتی معین بر روی بازه های متقارن اغلب با استفاده از خاصیت زوج یا فرد بودن ساده می شوند. مثلا
\[ \int_{-\pi}^{\pi} \sin x dx = 0 \].
انتگرال هایی مانند
\[ \int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x dx \]با استفاده از تابع بتا (Beta function) قابل محاسبه هستند.
در فیزیک، انتگرال توابع مثلثاتی برای محاسبه کار نیروهای متناوب، توان متوسط در مدارهای AC و ... به کار می روند.
برای انتگرال های مثلثاتی با کران های نامتناهی، مانند
\[ \int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} \]، از روش های خاص استفاده می شود.
انتگرال های مثلثاتی با پارامتر اغلب با مشتق گیری تحت انتگرال (روش فاینمن) محاسبه می شوند.
در ریاضیات محض، انتگرال های مثلثاتی با توابع ویژه مانند تابع سینوس انتگرال (Si(x)) و کسینوس انتگرال (Ci(x)) مرتبط هستند.
