انتگرال توابع گنگ (Integral of Irrational Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع گنگ (Integral of Irrational Functions) :
توابع گنگ (Irrational Functions) توابعی هستند که شامل رادیکال (ریشه) از متغیر یا توابع دیگر می باشند. به عنوان مثال
\[ \sqrt{x} \]،
\[ \sqrt{ax^2+bx+c} \]،
\[ (x+a)^{p/q} \]و ... . انتگرال گیری از این توابع معمولا با تغییر متغیر مناسب به انتگرال های گویا تبدیل می شود.
یکی از رایج ترین موارد، توابع شامل
\[ \sqrt{ax^2+bx+c} \]است. برای این موارد، از تغییر متغیرهای مثلثاتی یا هیپربولیک استفاده می شود. سه حالت اصلی:
\[ \sqrt{a^2 - x^2} \](تغیر
\[ x = a\sin\theta \])،
\[ \sqrt{a^2 + x^2} \](تغییر
\[ x = a\tan\theta \]یا
\[ x = a\sinh t \])،
\[ \sqrt{x^2 - a^2} \](تغییر
\[ x = a\sec\theta \]یا
\[ x = a\cosh t \]).
\[ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C \] \[ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C \]برای توابع شامل
\[ \sqrt{ax+b} \](رادیکال خطی)، از تغییر متغیر
\[ u = \sqrt{ax+b} \]استفاده می شود تا رادیکال حذف شود.
برای توابع شامل
\[ \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}} \](رادیکال کسری خطی)، از تغییر متغیر
\[ u^2 = \frac{ax+b}{cx+d} \]استفاده می گردد.
در مواردی که عبارت زیر رادیکال چندجمله ای درجه دو باشد، تکمیل مربع (completing the square) ابتدا انجام می شود تا به یکی از سه حالت استاندارد بالا برسیم.
مثال:
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}} \]. ابتدا
\[ x^2+2x+5 = (x+1)^2 + 4 \]، سپس با تغییر
\[ u = x+1 \]، انتگرال به
\[ \int \frac{du}{\sqrt{u^2+4}} \]تبدیل می شود که نتیجه آن
\[ \ln|u + \sqrt{u^2+4}| + C \]است.
برای توابع شامل رادیکال با توان های کسری مختلف (مثل
\[ \sqrt{x} \]و
\[ \sqrt[3]{x} \])، از تغییر متغیر
\[ x = t^k \]که
\[ k \]کوچکترین مضرب مشترک مخرج هاست استفاده می شود.
انتگرال های گنگ اغلب به توابع مثلثاتی معکوس، هیپربولیک معکوس یا لگاریتمی منجر می شوند.
در فیزیک، انتگرال های گنگ در محاسبه پتانسیل اجسام با تقارن خاص، طول قوس منحنی ها و مساحت سطوح ظاهر می شوند.
برای توابع شامل رادیکال در مخرج، گاهی از روش های گویاسازی (rationalization) استفاده می شود. مثلا
\[ \int \frac{dx}{1+\sqrt{x}} \]با تغییر
\[ t=\sqrt{x} \]به
\[ \int \frac{2t dt}{1+t} \]تبدیل می شود که گویا است.
انتگرال های بیضوی (Elliptic integrals) نمونه ای از انتگرال های گنگ هستند که به توابع ابتدایی بیان نمی شوند و نیاز به توابع ویژه دارند.
مثال معروف:
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2 x^2)}} \]که انتگرال بیضوی نوع اول است.
برای انتگرال های گنگ پیچیده تر، ممکن است از تغییر متغیرهای اویلر (Euler substitutions) استفاده شود. این تغییرات سه نوع هستند که بسته به نوع چندجمله ای زیر رادیکال انتخاب می شوند.
تغییر متغیر اول اویلر: برای
\[ \sqrt{ax^2+bx+c} \]اگر
\[ a>0 \]، قرار می دهیم
\[ \sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a}x + t \].
تغییر متغیر دوم اویلر: اگر
\[ c>0 \]، قرار می دهیم
\[ \sqrt{ax^2+bx+c} = xt + \sqrt{c} \].
تغییر متغیر سوم اویلر: اگر چندجمله ای دارای دو ریشه حقیقی
\[ \alpha \]و
\[ \beta \]باشد، قرار می دهیم
\[ \sqrt{a(x-\alpha)(x-\beta)} = t(x-\alpha) \].
انتگرال های گنگ در مسائل هندسه تحلیلی برای محاسبه طول منحنی های سهمی، بیضی و هذلولی کاربرد دارند.
در مکانیک کوانتومی، برخی انتگرال های پوشش اوربیتال ها شامل توابع گنگ هستند.
برای انتگرال گیری عددی از توابع گنگ، روش های تطبیقی (adaptive quadrature) استفاده می شود.
