انتگرال توابع کسری (Integral of Fractional Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع کسری (Integral of Fractional Functions) :
توابع کسری (Fractional Functions) در یک تعریف کلی تر به توابعی گفته می شود که به صورت کسر باشند، اما معمولا در حسابان منظور همان توابع گویا (Rational Functions) است که به صورت
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \]با
\[ P \]و
\[ Q \]چندجمله ای هستند. با این حال، گاهی به توابع کسری شامل رادیکال یا قدرمطلق نیز اطلاق می شود. در اینجا بر روی توابع گویا به عنوان مهم ترین نوع توابع کسری تمرکز می کنیم.
روش اصلی انتگرال گیری از توابع کسری، تجزیه به کسرهای جزئی (Partial Fractions) است. این روش شامل مراحل زیر است: ابتدا بررسی می کنیم که آیا کسر حقیقی است یا نه (درجه صورت کمتر از مخرج). اگر نباشد، تقسیم چندجمله ای انجام می دهیم تا به یک چندجمله ای و یک کسر حقیقی برسیم.
سپس مخرج
\[ Q(x) \]را به عوامل اول تجزیه می کنیم. عوامل می توانند خطی (مانند
\[ x-a \]) یا درجه دوم غیرقابل تجزیه (مانند
\[ x^2+bx+c \]با ممیز منفی) باشند. هر عامل ممکن است تکراری باشد یا نباشد.
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = \text{چندجمله ای} + \sum \frac{A}{(x-a)^k} + \sum \frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m} \]برای عوامل خطی ساده:
\[ \frac{A}{x-a} \]که انتگرال آن
\[ A \ln|x-a| \]است.
برای عوامل خطی تکراری:
\[ \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k} \]که انتگرال هر جمله به جز جمله اول به صورت
\[ \frac{A_n}{(1-n)(x-a)^{n-1}} \]و جمله اول
\[ A_1 \ln|x-a| \]است.
برای عوامل درجه دوم ساده:
\[ \frac{Bx+C}{x^2+bx+c} \]که ابتدا با تکمیل مربع، مخرج را به
\[ (x+\frac{b}{2})^2 + (c-\frac{b^2}{4}) \]تبدیل کرده و سپس انتگرال شامل دو بخش می شود: یکی منجر به لگاریتم (اگر صورت مشتق مخرج باشد) و دیگری منجر به آرک تانژانت.
برای عوامل درجه دوم تکراری، فرم های بازگشتی (reduction formulas) به کار می روند.
انتگرال های توابع کسری در مسائل فیزیک مانند مدارهای الکتریکی (تبدیل لاپلاس)، دینامیک سیستم ها و نظریه کنترل کاربرد فراوان دارند.
مثال:
\[ \int \frac{x+2}{x^2+4x+3} dx \]. ابتدا مخرج را تجزیه می کنیم:
\[ x^2+4x+3 = (x+1)(x+3) \]. سپس
\[ \frac{x+2}{(x+1)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3} \]. با حل،
\[ A=\frac{1}{2} \]،
\[ B=\frac{1}{2} \]می شود. انتگرال:
\[ \frac{1}{2}\ln|x+1| + \frac{1}{2}\ln|x+3| + C \].
مثال دیگر:
\[ \int \frac{dx}{x^2+2x+5} = \int \frac{dx}{(x+1)^2+4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C \].
گاهی انتگرال های کسری به توابع لگاریتمی و مثلثاتی معکوس منجر می شوند. برای نمونه،
\[ \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}| + C \].
انتگرال توابع کسری که شامل رادیکال نیز هستند، معمولا با تغییر متغیر مناسب به توابع گویا تبدیل می شوند. مثلا
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} \]با تغییر
\[ x = a\sinh t \]یا
\[ x = a\tan\theta \]محاسبه می شود.
در تحلیل عددی، برای توابع کسری که انتگرال آن ها به صورت بسته وجود ندارد، از روش های انتگرال گیری عددی استفاده می شود.
انتگرال های کسری که مخرج آن ها چندجمله ای با درجه بالا است، ممکن است به توابع ویژه مانند تابع چندلگاریتمی (polylogarithm) منجر شوند.
در نظریه اعداد، انتگرال های کسری خاصی مانند انتگرال های آبلی (Abelian integrals) مطالعه می شوند.
انتگرال گیری از توابع کسری یک ابزار اساسی در حل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت است.
در مهندسی برق، برای یافتن پاسخ ضربه یک سیستم خطی نامتغیر با زمان (LTI) از تبدیل لاپلاس معکوس استفاده می شود که نیاز به تجزیه به کسرهای جزئی دارد.
در نظریه احتمال، تابع چگالی احتمال برخی توزیع ها (مانند توزیع کوشی) به صورت کسری است و انتگرال آن ها برای محاسبه تابع توزیع تجمعی به کار می رود.
انتگرال توابع کسری با مخرج درجه دوم را می توان با استفاده از فرمول های استاندارد جدول انتگرال ها به سرعت محاسبه کرد.
برای مخرج های درجه سوم و بالاتر، روش تجزیه به کسرهای جزئی همچنان کارساز است اما محاسبات دستی طولانی تر می شود.
نرم افزارهایی مانند Mathematica و Maple قادر به انجام خودکار تجزیه به کسرهای جزئی و انتگرال گیری هستند.
