انتگرال توابع گویا (Integral of Rational Functions)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال توابع گویا (Integral of Rational Functions) :
توابع گویا (rational functions) توابعی به صورت
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \]هستند که
\[ P \]و
\[ Q \]چندجمله ای اند. انتگرال گیری از این توابع بخش مهمی از حسابان است و روش های منظمی دارد.
اگر درجه
\[ P \]بزرگتر یا مساوی درجه
\[ Q \]باشد، ابتدا با تقسیم چندجمله ای، تابع را به صورت یک چندجمله ای به اضافه یک کسر حقیقی (صورت با درجه کمتر از مخرج) می نویسیم.
برای کسرهای حقیقی، از روش تجزیه به کسرهای جزئی (partial fractions) استفاده می کنیم. این روش شامل نوشتن کسر به صورت مجموع کسرهایی با مخرج های ساده تر است.
حالات مختلف مخرج
\[ Q(x) \]:
۱. عوامل خطی ساده (غیرتکراری):
\[ \frac{A}{ax+b} \].
۲. عوامل خطی تکراری:
\[ \frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \dots + \frac{A_k}{(ax+b)^k} \].
۳. عوامل درجه دوم ساده (با دلتای منفی):
\[ \frac{Ax+B}{x^2+px+q} \].
۴. عوامل درجه دوم تکراری: مجموع کسرهایی با مخرج های توان های بالاتر از عامل درجه دوم.
\[ \int \frac{1}{x-a} dx = \ln|x-a| + C \] \[ \int \frac{1}{(x-a)^n} dx = \frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1} + C \quad (n \neq 1) \] \[ \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C \]انتگرال های حاصل از تجزیه شامل توابع لگاریتمی (برای عوامل خطی) و توابع آرک تانژانت (برای عوامل درجه دوم) می شوند.
مثال:
\[ \int \frac{2x+3}{x^2+3x+2} dx = \int (\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}) dx = \ln|x+1| + \ln|x+2| + C \].
مثال دیگر:
\[ \int \frac{dx}{x^2+4x+13} = \int \frac{dx}{(x+2)^2+9} = \frac{1}{3} \arctan\frac{x+2}{3} + C \].
برای کسرهایی با مخرج درجه دوم که قابل تجزیه به عوامل خطی نیستند، اغلب با تکمیل مربع و سپس استفاده از فرمول آرک تانژانت یا لگاریتم طبیعی (اگر صورت مشتق مخرج باشد) مواجه می شویم.
اگر صورت کسر مشتق مخرج باشد، انتگرال به صورت
\[ \int \frac{u'}{u} dx = \ln|u| + C \]است.
انتگرال توابع گویا ممکن است به توابع مثلثاتی معکوس، لگاریتم و گاهی توابع جبری منجر شود.
برخی انتگرال های گویا با تغییر متغیر مناسب به انتگرال های ساده تر تبدیل می شوند. مثلا برای
\[ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+a^2}} \]می توان از تغییر متغیر
\[ x = a \tan\theta \]یا
\[ x = a \sinh t \]استفاده کرد.
انتگرال های توابع گویا از توابع مثلثاتی (مثل
\[ \int \frac{dx}{a \sin x + b \cos x} \]) با تغییر متغیر
\[ t = \tan\frac{x}{2} \]به انتگرال گویا تبدیل می شوند.
در کاربردهای مهندسی، توابع گویا در تحلیل سیستم های کنترلی (تبدیل لاپلاس) و مدارهای الکتریکی ظاهر می شوند.
برای انتگرال گیری از توابع گویا، یافتن ریشه های مخرج (واقعی یا مختلط) ضروری است.
اگر مخرج دارای ریشه های مختلط مکرر باشد، تجزیه به کسرهای جزئی شامل جملاتی با مخرج های توانی از عوامل درجه دوم می شود.
انتگرال جملات به صورت
\[ \int \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n} dx \]با استفاده از فرمول های بازگشتی (reduction formulas) قابل محاسبه است.
نرم افزارهای ریاضی مانند Mathematica و Maple می توانند تجزیه به کسرهای جزئی را به صورت خودکار انجام دهند.
در آنالیز مختلط، انتگرال گیری از توابع گویا روی کانتورهای بسته با استفاده از قضیه مانده ها (residue theorem) انجام می شود.
انتگرال توابع گویا بر روی بازه های نامتناهی (مثل
\[ \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x^2+1} \]) با روش های خاص (ماندها) یا فرمول های مثلثاتی محاسبه می شود.
به طور کلی، هر تابع گویا را می توان به صورت closed-form بر حسب توابع ابتدایی انتگرال گرفت، مگر اینکه مخرج بسیار پیچیده باشد که در آن صورت ممکن است به توابع ویژه (مثل توابع چندلگاریتمی) منجر شود.
