انتگرال حجمی (Volume Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال حجمی (Volume Integral) :
انتگرال حجمی در اصل همان انتگرال سه گانه است که بر روی یک حجم در فضا تعریف می شود. اما گاهی اصطلاحا به انتگرال هایی اطلاق می شود که در آن تابع انتگرال ده ممکن است اسکالر یا برداری باشد و انتگرال روی یک ناحیه سه بعدی گرفته شود.
انتگرال حجمی یک تابع اسکالر
\[ f \]روی ناحیه
\[ V \]به صورت
\[ \iiint_V f \, dV \]نوشته می شود. اگر
\[ f=1 \]، این انتگرال حجم ناحیه
\[ V \]را می دهد.
برای یک میدان برداری
\[ \mathbf{F} \]، انتگرال حجمی به صورت
\[ \iiint_V \mathbf{F} \, dV \]تعریف می شود که نتیجه یک بردار است (هر مؤلفه جداگانه انتگرال گرفته می شود).
\[ \iiint_V \mathbf{F}(x,y,z) \, dV = \left( \iiint_V F_x \, dV , \iiint_V F_y \, dV , \iiint_V F_z \, dV \right) \]کاربردهای فیزیکی: محاسبه جرم کل یک جسم با چگالی
\[ \rho \]:
\[ M = \iiint_V \rho \, dV \].
مرکز جرم جسم سه بعدی:
\[ \mathbf{R} = \frac{1}{M} \iiint_V \mathbf{r} \rho \, dV \].
گشتاورهای اینرسی:
\[ I_{xx} = \iiint_V (y^2 + z^2) \rho dV \]و ...
ممان های دوقطبی الکتریکی یا مغناطیسی برای توزیع بار یا جریان.
در مکانیک محیط های پیوسته، انتگرال حجمی برای محاسبه کمیت های انتگرالی مانند تکانه خطی، تکانه زاویه ای و انرژی به کار می رود.
انتگرال حجمی بر روی نواحی با اشکال ساده مانند مکعب، کره، استوانه با استفاده از مختصات مناسب به سادگی محاسبه می شود.
برای یک مکعب مستطیلی
\[ [a,b]\times[c,d]\times[e,f] \]، انتگرال حجمی
\[ \int_e^f \int_c^d \int_a^b f \, dx dy dz \]است.
برای یک کره به شعاع
\[ R \]، بهتر است از مختصات کروی استفاده کنیم.
برای یک استوانه، مختصات استوانه ای مناسب است.
اگر تابع
\[ \mathbf{F} \]دیورژانس یک میدان برداری دیگر باشد، انتگرال حجمی
\[ \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{G} dV \]با انتگرال سطحی
\[ \iint_{\partial V} \mathbf{G} \cdot d\mathbf{S} \]برابر است (قضیه دیورژانس).
در معادلات ماکسول، انتگرال حجمی چگالی بار، بار کل درون یک حجم را می دهد.
در نظریه پتانسیل، پتانسیل گرانشی یا الکتریکی ناشی از یک توزیع حجمی به صورت انتگرال حجمی
\[ \phi(\mathbf{r}) = \iiint_V \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} dV' \]محاسبه می شود.
انرژی پتانسیل گرانشی یک توزیع جرم:
\[ U = \frac{1}{2} \iiint_V \rho(\mathbf{r}) \phi(\mathbf{r}) dV \].
در دینامیک سیالات، انتگرال حجمی برای اعمال قوانین بقا بر روی حجم کنترل استفاده می شود.
برای توابع برداری، انتگرال حجمی را می توان مؤلفه به مؤلفه محاسبه کرد.
انتگرال حجمی با تغییر متغیر با استفاده از ژاکوبین تبدیل می یابد:
\[ dV = |J| du dv dw \].
برای حل عددی، ناحیه
\[ V \]را به المان های حجمی (مثل مکعب های کوچک یا تتراهدرال) تقسیم کرده و انتگرال را به صورت مجموع تقریب می زنند.
در روش اجزاء محدود (FEM)، انتگرال های حجمی برای تشکیل ماتریس سختی و بردار نیرو محاسبه می شوند.
انتگرال حجمی پایه ای برای فرمول بندی انتگرالی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) است.
