انتگرال سطحی (Surface Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال سطحی (Surface Integral) :
انتگرال سطحی انتگرال گیری از یک تابع روی یک سطح در فضای سه بعدی است. مشابه انتگرال خطی، دو نوع اصلی دارد: انتگرال سطحی از میدان اسکالر و انتگرال سطحی از میدان برداری.
برای میدان اسکالر
\[ f(x,y,z) \]روی سطح
\[ S \]، انتگرال سطحی به صورت
\[ \iint_S f \, dS \]است که
\[ dS \]المان سطح است. اگر سطح با
\[ \mathbf{r}(u,v) \]پارامتری شود، آن گاه
\[ dS = \|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\| du dv \].
برای میدان برداری
\[ \mathbf{F} \]، انتگرال سطحی شار میدان از سطح را نشان می دهد:
\[ \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS \]که
\[ \mathbf{n} \]بردار نرمال واحد سطح است.
\[ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) du dv \]انتخاب جهت نرمال (سمت سطح) در انتگرال سطحی برداری مهم است. برای سطوح بسته، جهت نرمال معمولا به سمت بیرون انتخاب می شود.
کاربردهای فیزیکی: شار الکتریکی از یک سطح بسته:
\[ \Phi_E = \iint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} \].
قانون گاوس در الکتریسیته:
\[ \iint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{inside}}}{\varepsilon_0} \].
شار مغناطیسی:
\[ \Phi_B = \iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} \].
در مکانیک سیالات، شار جرمی یا دبی حجمی از یک سطح:
\[ Q = \iint_S \rho \mathbf{v} \cdot d\mathbf{A} \].
اگر
\[ f=1 \]باشد، انتگرال سطحی اسکالر مساحت سطح را می دهد:
\[ \text{Area}(S) = \iint_S 1 dS \].
برای یک سطح با معادله
\[ z = g(x,y) \]، المان سطح
\[ dS = \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2} dx dy \]است.
برای سطح استوانه ای
\[ x^2+y^2=R^2 \]، پارامترسازی
\[ (R\cos\theta, R\sin\theta, z) \]با
\[ 0\le\theta\le2\pi \]،
\[ z_1\le z\le z_2 \]، و
\[ dS = R d\theta dz \].
برای سطح کروی
\[ x^2+y^2+z^2=R^2 \]، پارامترسازی کروی با
\[ dS = R^2 \sin\phi d\phi d\theta \].
انتگرال سطحی برای محاسبه مرکز جرم یک پوسته (shell) با چگالی سطحی به کار می رود.
گشتاور اینرسی یک پوسته کروی نازک:
\[ I = \iint_S r^2 \sigma dS \].
در ترمودینامیک، برای محاسبه انتقال حرارت از یک سطح از انتگرال سطحی شار حرارتی استفاده می شود.
انتگرال سطحی با تغییر متغیرهای پارامتری با استفاده از بزرگی حاصلضرب بردارهای مشتق جزئی محاسبه می شود.
اگر سطح بسته باشد، انتگرال سطحی میدان برداری با انتگرال حجمی دیورژانس آن (قضیه دیورژانس) مرتبط است:
\[ \iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV \].
برای یک سطح باز که مرز آن یک منحنی بسته است، قضیه استوکس ارتباط بین انتگرال سطحی کرل و انتگرال خطی میدان را برقرار می کند.
انتگرال سطحی در الکترودینامیک برای محاسبه میدان های ناشی از توزیع های بار سطحی کاربرد دارد.
محاسبات عددی انتگرال سطحی با روش هایی مانند کوادراتور گاوسی روی المان های سطحی در روش اجزاء محدود (FEM) انجام می شود.
برای سطوح با هندسه پیچیده، معمولا از پارامترسازی عددی یا المان بندی سطح استفاده می گردد.
