انتگرال خطی (Line Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال خطی (Line Integral) :
انتگرال خطی انتگرال گیری از یک تابع در طول یک منحنی است. دو نوع اصلی دارد: انتگرال خطی از میدان اسکالر و انتگرال خطی از میدان برداری.
برای میدان اسکالر
\[ f(x,y,z) \]در طول منحنی
\[ C \]با پارامتر
\[ \mathbf{r}(t) \]برای
\[ a \le t \le b \]، انتگرال خطی به صورت
\[ \int_C f \, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \, \|\mathbf{r}'(t)\| dt \]تعریف می شود. این انتگرال مساحت "پرده" زیر منحنی را نشان می دهد.
برای میدان برداری
\[ \mathbf{F} = (P,Q,R) \]، انتگرال خطی در طول
\[ C \]برابر است با
\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt \]. این انتگرال کار انجام شده توسط میدان نیرو در طول مسیر را نشان می دهد.
\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b [P(x(t),y(t),z(t)) x'(t) + Q y'(t) + R z'(t)] dt \]اگر
\[ C \]یک منحنی بسته باشد، انتگرال خطی را با نماد
\[ \oint_C \]نشان می دهند.
انتگرال خطی به جهت پیمایش منحنی بستگی دارد: برای میدان برداری، تغییر جهت منحنی علامت انتگرال را معکوس می کند. برای میدان اسکالر، انتگرال مستقل از جهت است.
کاربرد فیزیکی مهم: کار نیروی
\[ \mathbf{F} \]در جابجایی یک ذره روی مسیر
\[ C \]:
\[ W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \].
در الکترومغناطیس، نیروی محرکه الکتریکی در طول یک حلقه برابر با انتگرال خطی میدان الکتریکی است.
قانون فارادی:
\[ \mathcal{E} = \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi}{dt} \].
در مکانیک سیالات، گردش (circulation) یک میدان سرعت در طول یک منحنی بسته:
\[ \Gamma = \oint_C \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r} \].
انتگرال خطی مستقل از مسیر است اگر میدان برداری پتانسیل دار باشد (یعنی
\[ \mathbf{F} = \nabla \phi \]). در این صورت
\[ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \phi(B) - \phi(A) \].
شرط استقلال از مسیر: در نواحی همبند ساده، اگر کرل میدان صفر باشد (
\[ \nabla \times \mathbf{F} = 0 \])، آن گاه میدان پتانسیل دار است.
برای محاسبه انتگرال خطی، ابتدا منحنی را پارامتری می کنیم. مثلا برای خط راست از
\[ (x_0,y_0) \]به
\[ (x_1,y_1) \]می توان از پارامتر
\[ t \]از 0 تا 1 با
\[ \mathbf{r}(t) = (x_0 + t(x_1-x_0), y_0 + t(y_1-y_0)) \]استفاده کرد.
برای دایره، پارامتر
\[ \mathbf{r}(t) = (R\cos t, R\sin t) \]با
\[ 0 \le t \le 2\pi \].
انتگرال خطی میدان اسکالر برای محاسبه جرم یک سیم با چگالی خطی
\[ \rho \]:
\[ M = \int_C \rho(x,y,z) ds \].
مرکز جرم سیم:
\[ \bar{x} = \frac{1}{M} \int_C x \rho ds \]، و مشابه برای
\[ y \]و
\[ z \].
گشتاور اینرسی سیم حول محور:
\[ I = \int_C r^2 \rho ds \].
در قضیه گرین (در صفحه)، انتگرال خطی روی منحنی بسته با انتگرال دوگانه روی ناحیه داخل آن مرتبط است.
در قضیه استوکس (در فضا)، انتگرال خطی روی منحنی بسته با انتگرال سطحی کرل روی سطحی که منحنی مرز آن است برابر است:
\[ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} dS \].
انتگرال خطی روی یک مسیر پارامتری ممکن است به پارامترسازی وابسته نباشد (مستقل از پارامتر) و فقط به هندسه مسیر بستگی دارد.
برای محاسبات عددی، انتگرال خطی با روش هایی مانند قاعده ذوزنقه ای روی نقاط گسسته از منحنی تقریب زده می شود.
