انتگرال سه گانه (Triple Integral)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع انتگرال (Integral) را در آموزش زیر شرح دادیم :
انتگرال سه گانه (Triple Integral) :
انتگرال سه گانه به انتگرال گیری از یک تابع سه متغیره روی یک ناحیه در فضای سه بعدی گفته می شود. نماد آن
\[ \iiint_V f(x,y,z) dV \]است.
اگر
\[ f(x,y,z)=1 \]باشد، انتگرال سه گانه حجم ناحیه
\[ V \]را می دهد:
\[ \text{Volume}(V) = \iiint_V 1 dV \].
اگر
\[ f \]چگالی یک جسم باشد، انتگرال سه گانه جرم جسم را محاسبه می کند:
\[ M = \iiint_V \rho(x,y,z) dV \].
انتگرال سه گانه معمولا به صورت یک انتگرال تکراری (iterated) محاسبه می شود: ابتدا نسبت به یک متغیر، سپس متغیر بعدی و در آخر متغیر سوم.
\[ \iiint_V f(x,y,z) dV = \int_{z=z_1}^{z_2} \int_{y=y_1(z)}^{y_2(z)} \int_{x=x_1(y,z)}^{x_2(y,z)} f(x,y,z) dx dy dz \]انتخاب ترتیب انتگرال گیری بستگی به شکل ناحیه
\[ V \]و سادگی محاسبات دارد.
در مختصات استوانه ای (برای نواحی با تقارن محوری حول محور
\[ z \]):
\[ x = r\cos\theta \]،
\[ y = r\sin\theta \]،
\[ z=z \]، و
\[ dV = r \, dr d\theta dz \].
در مختصات کروی (برای نواحی با تقارن مرکزی):
\[ x = \rho \sin\phi \cos\theta \]،
\[ y = \rho \sin\phi \sin\theta \]،
\[ z = \rho \cos\phi \]، و
\[ dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho d\phi d\theta \].
کاربردها: محاسبه مرکز جرم یک جسم سه بعدی:
\[ \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint x \rho dV \]و به همین ترتیب برای
\[ \bar{y} \]،
\[ \bar{z} \].
گشتاور اینرسی حول محور
\[ z \]:
\[ I_z = \iiint (x^2 + y^2) \rho dV \].
پتانسیل گرانشی یا الکتریکی ناشی از یک توزیع جرم یا بار:
\[ V(\mathbf{r}) = G \iiint \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} dV' \].
در مکانیک سیالات، برای محاسبه دبی جرمی یا مومنتوم از انتگرال سه گانه استفاده می شود.
اگر ناحیه
\[ V \]یک متوازی السطوح مستطیلی باشد (
\[ a\le x\le b \]،
\[ c\le y\le d \]،
\[ e\le z\le f \])، انتگرال سه گانه به صورت
\[ \int_e^f \int_c^d \int_a^b f dx dy dz \]است.
اگر تابع به صورت حاصلضرب توابع تک متغیره باشد، انتگرال سه گانه به حاصلضرب سه انتگرال ساده تبدیل می شود.
مثال: حجم یک کره به شعاع
\[ R \]:
\[ \iiint_{x^2+y^2+z^2 \le R^2} 1 dV = \frac{4}{3}\pi R^3 \](با مختصات کروی به راحتی محاسبه می شود).
مثال دیگر: مرکز جرم یک نیمکره با چگالی ثابت.
انتگرال سه گانه با تغییر متغیرهای عمومی نیازمند محاسبه ژاکوبین تبدیل است:
\[ dx dy dz = |J| du dv dw \].
برای تبدیل به مختصات استوانه ای،
\[ |J| = r \]و برای کروی،
\[ |J| = \rho^2 \sin\phi \].
انتگرال سه گانه روی نواحی با مرزهای پیچیده ممکن است نیاز به تقسیم به نواحی ساده تر داشته باشد.
در قضیه دیورژانس (گاوس)، انتگرال سه گانه دیورژانس یک میدان برداری روی یک حجم با انتگرال سطحی میدان روی مرز آن برابر است:
\[ \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} dS \].
انتگرال سه گانه در دینامیک شاره های محاسباتی (CFD) برای حل معادلات بقا به کار می رود.
در مکانیک کوانتومی، برای نرم سازی توابع موج سه بعدی از انتگرال سه گانه استفاده می شود.
انتگرال سه گانه را می توان با روش های عددی مانند قاعده سیمپسون سه بعدی یا مونت کارلو محاسبه کرد.
برای محاسبه شار یک میدان برداری از روی یک سطح بسته، انتگرال سه گانه دیورژانس بسیار مفید است.
